Ok, así que estoy tratando de entender la prueba de la Regla de la Cadena de Spivak del Cálculo de los Colectores, así que (con suerte correctamente) abrió la totalidad de la prueba para tratar de entender todo el álgebra y las funciones de la epsilons y deltas en la prueba. Me gustaría recibir comentarios sobre si lo que hice se ve bien (aunque se ve horrible):
Teorema (Regla de la Cadena): Si $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es diferenciable en a $a$, e $g:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^p$ es diferenciable en a $f(a)$, entonces el composición $g \circ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$ es diferenciable en a $a$, e $$D(g \circ f)(a)=Dg(f(a)) \circ Df(a).$$
Prueba: Supongamos $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es diferenciable en a $a$, e $g:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^p$ es diferenciable en a $f(a)$.
Esto significa que $$(1) \ \lim_{h \to 0} \frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Df(a)(h) \rvert}{\lvert h \rvert}=0,$$ and that $$(2) \ \lim_{h \to 0} \frac{\lvert g(f(a)+h)-g(f(a))-[Dg(f(a))](h) \rvert}{\lvert h \rvert}=0.$$
Nota luego de que $$\frac{\lvert (g \circ f)(a+h)-(g \circ f)(a)-[Dg(f(a)) \circ Df(a)](h) \rvert}{\lvert h \rvert}=$$ $$\frac{\lvert g(f(a+h))-g(f(a))-Dg(f(a))[Df(a)(h)] \rvert}{\lvert h \rvert}=$$ $$\frac{\lvert g(f(a+h))-g(f(a))-Dg(f(a))[f(a+h)-f(a)-f(a+h)+f(a)+Df(a)(h)] \rvert}{\lvert h \rvert} \leq$$ $$\frac{\lvert g(f(a+h))-g(f(a))-Dg(f(a))[f(a+h)-f(a)] \rvert}{\lvert h \rvert}+\frac{\lvert Dg(f(a))[f(a+h)-f(a)-Df(a)(h)] \rvert}{\lvert h \rvert}.$$
Pero por (2), para cada $\epsilon >0$, podemos encontrar $\delta >0$ tal que $0<\lvert k \rvert<\delta$ implica que el $\lvert g(f(a)+k)-g(f(a))-[Dg(f(a))](k) \rvert<\epsilon \lvert k \rvert$; en particular, si $0<\lvert f(a+h)-f(a) \rvert<\delta$ cualquier $h$ satisfacción $0<\lvert h \rvert<\rho$ adecuado $\rho>0$, luego $$\frac{\lvert g(f(a+h))-g(f(a))-Dg(f(a))[f(a+h)-f(a)] \rvert}{\lvert h \rvert}<$$ $$\frac{\epsilon \lvert f(a+h)-f(a) \rvert}{\lvert h \rvert}=$$ $$\frac{\epsilon \lvert f(a+h)-f(a)-Df(a)(h)+Df(a)(h) \rvert}{\lvert h \rvert} \leq$$ $$\frac{\epsilon \lvert f(a+h)-f(a)-Df(a)(h) \rvert}{\lvert h \rvert} + \frac{\epsilon \lvert Df(a)(h) \rvert}{\lvert h \rvert}.$$
Ahora, desde la $Df(a)$ $Dg(f(a))$ son transformaciones lineales, también tenemos que para ciertos $M,N \in \mathbb{R}$, $$\lvert Df(a)(h) \rvert<M\lvert h \rvert$$ y $$\lvert Dg(f(a))[f(a+h)-f(a)-Df(a)(h)] \rvert<N\lvert f(a+h)-f(a)-Df(a)(h) \rvert.$$
Esto a su vez da a la primera que $$\frac{\epsilon \lvert Df(a)(h) \rvert}{\lvert h \rvert}<M \epsilon,$$ y también, mediante el uso de (1), que para cada $\epsilon >0$ podemos encontrar $\delta >0$ tal que $\lvert h \rvert<\delta$ implica que el $\lvert f(a+h)-f(a)-Df(a)(h) \rvert<\epsilon \lvert h \rvert$, de la que también obtenemos $$\frac{\lvert f(a+h)-f(a)-Df(a)(h) \rvert}{\lvert h \rvert}<\epsilon$$ y $$\frac{\lvert Dg(f(a))[f(a+h)-f(a)-Df(a)(h)] \rvert}{\lvert h \rvert}<$$ $$\frac{N\lvert f(a+h)-f(a)-Df(a)(h) \rvert}{\lvert h \rvert}<$$ $$\frac{N \epsilon \lvert h \rvert}{\lvert h \rvert}=N \epsilon.$$
Finalmente, armando todos los anteriores juntos (de los últimos tres desigualdades podemos concluir que ambos términos en el lado derecho de la desigualdad original son arbitrariamente pequeño) da la siguiente conclusión: $$\lim_{h \to 0} \frac{\lvert (g \circ f)(a+h)-(g \circ f)(a)-[Dg(f(a)) \circ Df(a)](h) \rvert}{\lvert h \rvert}=0.$$
Gracias de antemano.
