Múltiple no-orientable 1-dimensional (no-hausdorff)

Question

¿Hay cualquier buen ejemplo de un múltiple 1-dimensional de hausdorff no que no está orientado? He probado la línea con dos orígenes, pero quizás algo más exótico se necesita?

Answer 1

¿Por qué el cociente de la línea real por la relación $x\sim y$iff $x=-y$ y $|x|>1$? Se ve algo parecido a esto:

(Los dos puntos negros son las clases de equivalencia de $+1$ y $-1$.)

Answer 2

Aquí está una más técnica de la construcción:

Deje $X = (0, 2]$, con una base que consiste en abrir los intervalos en $(0, 2)$, así como subconjuntos de la forma$(1 - \epsilon, 1) \cup (2 - \epsilon, 2]$$\epsilon > 0$.

Este espacio es claramente localmente Euclídeo para $x \in X - \{2\}$. Para $2$, utilice el siguiente homeomorphism de $V = (1 - \epsilon, 1) \cup (2 - \epsilon, 2]$ en el intervalo abierto $(1 - \epsilon, 1 + \epsilon)$$\Bbb R$: $$ f(x) = \begin{cases} x &: x \in (1 - \epsilon, 1) \\ 3 - x &: x \in (2 - \epsilon, 2] \end{casos} $$

Los puntos de $1$ $2$ no tienen distintos barrios, por lo $X$ no es Hausdorff. $X$ es segundo contable, ya que tiene una base que consiste en abrir conjuntos de racionales de los puntos finales.

Finalmente, $X$ es no orientable. Un posible generador de $H_1(V, V - \{2\})$ es la siguiente singular $1$-simplex: $$ \tau(t) = \begin{cases} 1 - \dfrac{\epsilon}{2} + t\epsilon &: t \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right) \\ 2 - \left(t - \dfrac{1}{2}\right)\epsilon &: t \in \left[\dfrac{1}{2}, 1\right] \end{casos} $$

No importa cuál es la orientación que usted elija para $(0, 2)$, $\tau$ no puede ser compatible con ella. Compruebe esto! Esto también es cierto para el otro generador de $H_1(V, V - \{2\})$.