Escritura de un vector como la suma de vectores de la base

Question

Actualmente estoy haciendo mi camino a través de la mecánica cuántica por Leonard Susskind, pero se han metido en esta parte, la redacción de un vector como la suma de los vectores de la base.

Entiendo que para un $N$ dimensiones de espacio y una particular ortonormales base de elementos etiquetados $|i\rangle$ donde $i$ pistas de$1$$N$, un vector $|A\rangle$ puede ser escrita como una suma de la base tfe $|A\rangle = \sum a_i|i\rangle$.

Pero entonces no entiendo por qué a cabo el trabajo de los componentes que, a continuación, tomar el producto interior con una base de bra $\langle j|$ y cómo puede llevarse a $\langle j|A\rangle = a_j$.

Tal vez yo no entiendo las reglas del producto interior correctamente, pero cualquier ayuda a la comprensión sería apreciada.

Answer 1

Escriba $|A\rangle = \sum_i a_i|i\rangle$: ya sabes que puede hacer esto porque $\left\{|i\rangle\right\}$ son una base: esta es la definición de una base. Además, son ortonormales que significa que el $\langle i|j\rangle = \delta_{ij}$ (esto es lo que significa ser orthonormal significa). Así que ahora considerar $$ \begin{align} \langle j|A\rangle &= \langle j|\left(\sum_i a_i|i\rangle\right)\\ &= \sum_i a_i\langle j|i\rangle\\ &= \sum_i a_i \delta_{ji}\\ &= a_j \end{Alinee el} $$

Como sea necesario. Los pasos intermedios están moviendo sólo el vector de la base en la suma.

(La respuesta por CDCM es mejor que este, creo).

Answer 2

Cuando usted dice que la base es ortonormales, matemáticamente usted está diciendo que $$\langle j | i \rangle = \delta_{ij},$$ donde $\delta_{ij}$ es la delta de Kronecker, que es igual a $1$ si $i=j$, e $0$ lo contrario. Ahora, con este conocimiento, vamos a ver lo que sucede a su estado de vectores $|A\rangle = \sum a_i|i\rangle$. $$\langle j | A \rangle = \sum a_i \langle j |i\rangle = ~...+ ~ a_{j-1}\langle j|j-1 \rangle + a_j\langle j | j \rangle + a_{j+1}\langle j|j+1 \rangle + ~... $$ donde he aislado la parte de la suma cerca de $j$. Ahora vamos a utilizar nuestro orthonomality expresión: $$\langle j | A \rangle = \sum a_i \delta_{ij}= ~...+ ~ a_{j-1}\delta_{j (j-1)} + a_j\delta_{jj} + a_{j+1}\delta_{j(j+1)} + ~... $$ Ahora podemos ver que $\delta_{ij}$ será cero para todos los términos, excepto por el $jj$ plazo. De ahí nuestra suma se convierte en: $$\langle j| A \rangle = a_1 \times 0 + a_2 \times 0 + ... + ~a_j \times 1 + a_{j+1} \times 0 +~ ... = a_j$$ Este post es complicado, pero estoy tratando de mostrar cómo premultiplying por $\langle j |$ realmente va y recoge el término pertinente.

Answer 3

Tal vez ayuda a comparar el complejo interior del producto para la regular producto escalar de vectores. Tomemos, por ejemplo, el vector $\vec v=(5,3,2)$ ; los componentes en el sistema de base puede encontrarse tomando el producto escalar con el sistema de base de vectores $\hat x_1, \hat x_2$ $\hat x_3$ $$v_1=\hat x_1\cdot \vec v=(1,0,0)\ \cdot\ (5,3,2)=5$$ Del mismo modo $v_2=\hat x_2\cdot \vec v=3$ $v_3=\hat x_3\cdot\vec v=2$

Lo que sucede matemáticamente, es que el producto escalar distribuye tal que \begin{align}\hat x_1\cdot\vec v&=\hat x_1\cdot (5\hat x_1+3\hat x_2+2\hat x_3)\\&=5\hat x_1\cdot\hat x_1+3\hat x_1\cdot\hat x_2+2\hat x_1\cdot\hat x_3\end{align} Ya que este es un ortonormales base, podemos hacer uso del hecho de que $\hat x_i\cdot \hat x_j=\delta_{ij}$. Así todo, pero de $\hat x_1\cdot \hat x_1$ se convierte en cero y nos quedamos con 5. Para este argumento podríamos haber utilizado cualquiera de los tres vectores que forman una base ortonormales.

Para transformar esta a la lengua de sostén y las tfe que acaba de sustituir a $\vec v$$|v\rangle$$\hat x_i$$\langle i|$. La diferencia es que el sostén y las tfe pueden ser valores complejos y pueden tener infinitas dimensiones.

Answer 4

Usted podría tener también significó una pregunta relacionada: ¿por qué es $\langle m | n\rangle$ igual a cero si $m\ne n$? Como en 3D es obvio que acabamos de elegir tres vectores que apuntan en direcciones perpendiculares y sus productos de puntos con cada uno de los otros son cero, pero ¿se puede hacer esto en este extraño espacio cuántico?

Generalmente esta base, los estados $|m\rangle$ fueron cuidadosamente derivados porque tienen alguna relación con un operador cuántico que podríamos llamar, decir, el "imperturbable Hamiltonianos operador" $\hat H_0$, de tal manera que $\hat H_0 |m\rangle = E_m |m\rangle,$ donde $E_m$ es un verdadero energía del estado. Ahora nuestra álgebra cuántica exige que $\big(\langle \phi|\chi\rangle\big)^* = \langle \chi|\phi\rangle$ para cualquier vectores $|\chi\rangle$$|\psi\rangle$, donde el $*$ es compleja conjugación $a + i b \mapsto a - i b;$ si hay un operador en el medio de este se convierte en el único un poco más complicado

$$\big(\langle \phi|\hat A|\chi\rangle\big)^* = \langle \chi|\hat A^\dagger |\phi\rangle.$$ Menciono esto, pero en realidad la condición de que todos los $E_m$ ser real va de la mano con una propiedad llamada Hermitian-ness, que establece que $\hat H_0 = \hat H_0^\dagger$, así que por ahora no necesita pensar acerca de esto conjugada transpuesta de operación $\dagger$ muy difícil.

Mirando a $\langle m | \hat H_0 |n \rangle$ por lo tanto, podemos ver que este debe ser simultáneamente dos números diferentes: $$E_n \langle m |n \rangle = \langle m | \sombrero H_0 |n \rangle = \big(\langle n | \sombrero H_0 |m \rangle\big)^* = \big(E_m~\langle n |m \rangle\big)^* = E_m \langle m | n\rangle.$$ Que el primero de estos es igual a la de esta última también puede ser escrito como: $$\big(E_m - E_n\big)~\langle m|n\rangle = 0.$$ Ahora bien, esto es sólo una multiplicación de dos números complejos es cero, y el complejo de la multiplicación todavía tienen la propiedad de que $|z_1~z_2| = |z_1|~|z_2|$, lo que significa que si $z_1~z_2 = 0$ entonces $z_1=0$ o $z_2 = 0$ o ambos.

Esto nos lleva a dos grandes posibilidades. Primero, no es el caso habitual: las energías son diferentes y, a continuación,$\langle m | n\rangle = 0$. En un sentido muy real, este es el único caso que tenemos que pensar, como en la física de las cosas tienden a ser un poco "ruido" y entonces, si $m\ne n$, entonces hay algo de ruido que se detiene $E_m$ a de ser igual a $E_n.$ Este conocimiento no es exclusivo de la física; Tadashi Tokieda habla sobre su uso en las matemáticas puras en longitud en su topología y geometría de las conferencias que ha puesto gratis en línea.

Pero usted puede estar pinchado matemáticamente $E_m = E_n$ mientras $m \ne n$ y esto se llama una "degeneración" en el Hamiltoniano perturbado, y hay una manera de tratar con él. Se puede ver, este es un indicador de que usted no coger (vamos a decir) $|m\rangle$ derecho cuando se resuelve para estas funciones. De hecho, estas ecuaciones están diciendo que debe haber escogido $$|m'\rangle \propto |m\rangle - |n\rangle \langle n | m\rangle$$Note that this needs to be renormalized so that $\langle m'|m'\rangle = 1$ but that is no bother. If you tried to do this with $|m\rangle = |n\rangle$ you would get just the zero vector which can't be normalized, but any other choice will lead to a new normalizable vector with $E_{m} = E_m = E_n$, but with the property that $\langle m'|n\rangle = 0$ como se desee.

Answer 5

de hecho, su problema es con el concepto de interior de los productos. Déjame caer el bra-ket de notación y sólo el trabajo con la norma Euclidiana producto escalar. El sujetador, las tfe y el interior de los productos en la Mecánica Cuántica compartir las propiedades que se analizan a continuación.

El sentido geométrico del producto escalar entre dos vectores $\vec A$ $\vec B$ es que el proyecto en el que uno de los vectores en el otro y, a continuación, multiplique la longitud de los dos colinear segmentos de línea recta, $|\vec A|\cos\theta$$|\vec B|$, para obtener el $|\vec A||\vec B|\cos\theta$.

En particular, si se toma el producto escalar entre el $\vec A$ con un vector unitario $\vec j$, entonces usted consigue $|\vec A|\cos\theta$, es decir, la longitud de $\vec A$ a lo largo de la dirección de $\vec j$. Ahora considere un ortonormales base dada por los vectores unitarios $\vec j$. Las proyecciones de $\vec A$ en las instrucciones $\vec j$, $\vec A\cdot \vec j$, dar a los componentes de $\vec A$ en la base. Por lo tanto $\vec A=\sum_j (\vec A\cdot \vec j)\vec j$.