Cómo puedo demostrar que no de $f$ ' tiene todas las raíces reales $\forall a\in\mathbb{C}$

Question

Tenemos $f=x^4+ax^3+4x^2+1\in\mathbb{C}[x]$ $x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{C}$.

Tenemos que demostrar que $\color\red{\forall a\in\mathbb{C}},f$ no tiene todas las raíces reales. Cómo puedo comenzar a resolver este ejercicio.

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Aquí está lo que he probado:

$$\sum_{k=1}^4 x_k^2< 0\Rightarrow\:f\:doesn't\:have\:all\:real\:roots$$

• Por lo tanto $$\left(\sum_{k=1}^4 x_k\right)^2-2\left(\sum_{1\leq k<i\leq 4}x_k x_i\right)=a^2-8$ $

$\Rightarrow a^2-8<0\Rightarrow a\in(-\sqrt{8},\sqrt{8})$

Pero lo que resultó fue que $f$ no tiene todas las raíces reales $a\in(-\sqrt{8},\sqrt{8})$. No tengo ideea Cómo puedo probar que $f$ no tiene todas las raíces reales $\color\red{\forall a\in\mathbb{C}}$.

Answer 1

Desde $0$ no es una raíz, así podemos considerar el "reverse" polinomio $$ g (x) = x ^ 4 + 4 x ^ 2 + ax + 1 $$ cuyas raíces son los recíprocos de las raíces de $f$.

Si $g$ tiene cuatro raíces reales distintas, su derivado debe desaparecer en tres puntos; ahora $ g'(x) = 4 x ^ 3 + 8 x + a $$ y el segundo derivado deben desaparecer en dos puntos distintos; pero $$ g'' (x) = 12 x ^ 2 + 8 $$ no tiene ninguna raíz real.

Esto también resuelve el caso de raíces múltiples, por supuesto (con un poco de trabajo).

Answer 2

Considere el caso $a>0$. Entonces $f$ va en aumento en $[0,\infty)$, por lo que hay no hay ceros positivos. Así, si $f$ tenía cuatro ceros reales, tendría que ser negativo, y luego por el teorema de Rolle $f'$ tendría tres ceros negativos. $f'(0)=0$, Por lo que...

¿Puede tomarlo desde allí?

Answer 3

Esto es sólo el comienzo.

Si $a$ es complejo, hay no hay ceros reales. Por lo tanto asumiremos $a$ real.

Dado cualquier polinomio con %#% ceros reales, $n$ tiene por lo menos $f'(x)$ #% ceros reales, $n-1$ tiene $f''(x)$ ceros reales, etcetera.

En este caso, la segunda derivada es:

$n-2$$

que, dividiendo por $$12x^2+6ax+8$, tiene el mismo número de raíces como:

$3$$

Lo que necesitas $$4x^2+2ax+\frac{8}{3}= \left(2x+\frac{a}{2}\right)^2 + \frac{8}{3}-\frac{a^2}{4}$o $\frac{a^2}{4}>\frac{8}{3}$ tener dos bienes raíces de la segunda derivada.