¿Cómo puedo evaluar este límite?

Question

$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum ^n _{k=1} \dfrac{k^2}{n^2}$$

¿Cómo puedo evaluar esto? En realidad nunca he aprendido a trabajar con series infinitas como ésta, así que no tengo ni idea.

Answer 1

Puedes reconocer una suma de Riemann: $$\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2} = \int_0^1 x^2dx= \frac{1}{3}$$

Answer 2

SUGERENCIA: Utilizar la fórmula de la suma del primer $n$ cuadrados:

$$\begin{align*} \frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}&=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2\\ &=\frac1{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}6\;. \end{align*}$$

Answer 3

Desde $n$ es una constante dentro de la suma, puedes moverla fuera: $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3} \displaystyle \sum ^n _{k=1} {k^2}$$ La suma del primer $n$ cuadrados es bien conocido por ser $\dfrac{n^3}{3} +\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}$ . Dividiendo por $n^3$ tenemos $\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{n^2}$ . El límite como $n \to \infty$ es ahora obvio como $\dfrac{1}{3}$ .

Answer 4

Recordemos un resultado útil sobre la serie: si la serie $\displaystyle \sum_n f(n)$ es divergente entonces tenemos $$\sum_{k=1}^n f(k)\sim\int_1^nf(x)dx.$$ Con este resultado encontramos el resultado clásico $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\sim\int_1^n\frac{dx}{x}=\log n.$$

Ahora, volvemos a la pregunta. Dado que la serie $\displaystyle \sum_n n^2$ es divergente entonces tenemos $$\sum_{k=1}^n k^2\sim \int_1^n x^2dx=\frac{1}{3}\left[x^3\right]_1^n\sim\frac{n^3}{3},$$ y por lo tanto encontramos $$\lim_{\infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{3}.$$