Demuestre, sin una calculadora, que $2^{1+\sqrt{5}}\neq 9$

Question

La pregunta original era: Demuestre que no existe una función estrictamente creciente f : N N que satisfaga f (2) = 3 y f (mn) = f (m)f (n) para todo m, n N.

Pero la solución finalmente se redujo a tener que demostrar que $2^{1+\sqrt{5}}\neq 9$ . Parece muy fácil, pero no he podido hacer ningún progreso significativo. ¿Alguien tiene una forma "bonita" de demostrar que la afirmación anterior es cierta?

Answer 1

Aviso

1. $2^8 = 256 > 243 = 3^5 \implies 2^{32} = (2^8)^4 > (3^5)^4 = 3^{20} = 9^{10} \implies 2^{3.2} \ge 9$ .
2. $5^3 = 125 > 121 = 11^2 \implies 5\sqrt{5} > 11 \implies \sqrt{5} > 2.2$ .

Combinando estos, tenemos $$2^{1+\sqrt{5}} > 2^{3.2} > 9$$

Answer 2

Si quieres usar una bazuca para matar una mosca: el teorema de Gelfond-Schneider muestra que $2^{1+\sqrt{5}}$ es trascendental.

Answer 3

Desde $\sqrt{5}>2.2=\frac{11}{5}$ , $$2^{1+\sqrt{5}}>2^{1+11/5}=2^{16/5}$$ Y $2^{16/5}$ es mayor que $9$ porque $2^{16}=1024\cdot64>64000$ mientras que $9^5=729\cdot81<750\cdot80=60000$ .

Answer 4

Dejemos que $\tau=(1+\sqrt{5})/2$ . Supongamos que $2^{\tau}=3$ que es equivalente a la afirmación de la pregunta. Siguiendo el ejemplo de la sucesión de Fibonacci, se puede hacer $2^{8-5\tau}=256/243>1$ . Por desgracia, $8/5<\tau$ (los cocientes de números de Fibonacci consecutivos están alternativamente por debajo y por encima de $\tau$ y $8/5$ está en una posición "inferior") que obliga a $2^{8-5\tau}<1$ .

Answer 5

Si sabes que $\log_{10} 3 \approx 0.477,\log_{10} 2 \approx 0.30103$ y $\sqrt 5 \approx 2.236$ se puede derivar $\log_2 (3^2) \approx 2 \frac {0.477}{0.30103}\approx 3.17$ mientras que $1+\sqrt 5 \gt 3.23$