Una daga functor es un contravariante endofunctor $(\;)^\dagger$ satisfacción $X^\dagger = X$ sobre los objetos y el $f^{\dagger\dagger}$ en morfismos. Se supone que el modelo adjunto mapas en espacios de Hilbert, y, de hecho, la categoría de los espacios de Hilbert es un excelente ejemplo de una daga categoría.
Se afirma a menudo que, como en este artículo, de que la daga functor "sirve como un axiomatization del producto interior". Tengo la sensación de que hay algo sospechoso acerca de este argumento. El argumento estándar va de esta. Dados dos vectores $v, w \in \mathcal{H}$, definir las funciones de $f, g: \mathbb{C} \to \mathcal{H}$$f(z) = zv$$g(z) = zw$, y, a continuación, establezca $\left<v|w\right> := f^\dagger g$.
Ahora, aquí está lo que me molesta:
- Esta es una definición que utiliza el conjunto subyacente de $\mathcal{H}$. No hay ninguna forma de repetición en una arbitraria de la daga de la categoría.
- No hay ningún "builtin" garantizar que la define interior del producto en realidad es lineal en la segunda componente y antilinear en la primera. Necesito demostrar que a mano, usando la linealidad de la composición de morfismos y antilinearity de la daga functor, de nuevo una posible característica específica de los espacios de Hilbert.
En realidad, uno no puede decir "antilinear" mapa arbitrario de la daga de la categoría. La estructura adecuada es posiblemente la de un involutiva estructura monoidal. De ahí, uno puede axiomatise el concepto de la conjugado complejo espacio de Hilbert $\overline{\mathcal{H}}$ (el mismo grupo subyacente, pero el complejo conjugado de la multiplicación escalar) y, finalmente, definir un antilinear mapa de $f: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ a ser lineal en el mapa de $f: \mathcal{H} \to \overline{\mathcal{H}}$. Un producto interior, entonces sería un mapa de $\left<-|-\right>: \overline{\mathcal{H}} \otimes \mathcal{H} \to \mathbb{C}$. Pero todavía no está claro cómo podríamos utilizar una daga estructura de aquí para definir un mapa.
Así que mi pregunta finalmente es: ¿Qué es una categoría de forma de definir el producto interior de una daga estructura?
Está claro que algo más de estructura, por ejemplo un monoidal producto y, probablemente, también el ya mencionado involutiva de la estructura es necesario, entonces, en un sentido, la pregunta es qué extra estructura.
