Se me presentó con una prueba de la siguiente hecho y estoy atascado en un detalle que creo que es de hecho el mal. También creo que puede llenar el detalle de mí mismo, pero necesita un poco de ayuda.
Deje $X\subset k^{m}$ $Y\subset k^{n}$ ser afín variedades(que se Supone irreductible). Demostrar que el producto $X\times Y\subset k^{m+n}$ (equipado con la topología de Zariski en $k^{m+n}$) es irreducible.
Esta es la "prueba". Suponga $X\times Y$ es reducible. Entonces existe $Z_{1}$ $Z_{2}$ cerrado tal que $X\times Y=Z_{1}\cup Z_{2}$. Definir $X_{i}=\{x|x\times Y\subset Z_{i}\}$. La prueba muestra $X=X_{1}\cup X_{2}$ dice $X_{i}$ está cerrada debido a la proyección de una cerrada mapa.
No creo que la proyección del producto objeto de la topología de zariski es un cerrado mapa. Así que puede que alguien posiblemente explique que a mí?
Mi idea en la muestra $X_{i}$ estaba cerrado, era mostrar que $X_{i}=\cap_{y\in Y}\{x|(x,y)\in Z_{i}\}$ es un conjunto cerrado. Lo que equivale a mostrar el $\{x|(x,y)\in Z_{i}\}$ es cerrado en $X$.
