Desigualdad de la función suelo

Question

Me estoy devanando los sesos tratando de resolver este problema y no consigo romperlo...

Dejemos que $m, n$ sean enteros positivos, con $m > 1$ . Prueba

$$\left\lfloor\frac{n}m\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n+1}m\right\rfloor\le\left\lfloor\frac{2n}m\right\rfloor$$

Empecé a tratar de usar las desigualdades que dicen

$$\lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor + \lfloor x+y\rfloor \le \lfloor 2x\rfloor + \lfloor 2y\rfloor\;.$$

A partir de ahí reescribí ambos lados con la noción de que para un número real $y$ ,

$y = \lfloor y\rfloor + \{y\}$ , donde $\{y\}$ es la parte fraccionaria, pero sigo dando vueltas y no puedo llegar al resultado deseado...

Answer 1

SUGERENCIA: Deja que $a=\left\lfloor\dfrac{n}m\right\rfloor$ para que $$a\le\frac{n}m<a+1\;,$$ y por lo tanto $am\le n<am+m$ . O bien $n+1<am+m$ , en cuyo caso $$a<\frac{n+1}m<a+1$$ y $\left\lfloor\dfrac{n+1}m\right\rfloor=a$ o $n+1=am+m$ , en cuyo caso $\left\lfloor\dfrac{n+1}m\right\rfloor=a+1$ . ¿Puede usted calcular ahora lo que $\left\lfloor\dfrac{2n}m\right\rfloor$ es en cada uno de estos casos?

Answer 2

Si quieres usar esa desigualdad tuya deja que $x=\dfrac{n}{m}$ y $y=\dfrac{1}{m}:$ $$\bigg\lfloor \frac{n}{m}\bigg\rfloor+\bigg\lfloor \frac{1}{m}\bigg\rfloor+\bigg\lfloor \frac{n+1}{m}\bigg\rfloor\leq\bigg\lfloor \frac{2n}{m}\bigg\rfloor+\bigg\lfloor \frac{2}{m}\bigg\rfloor$$

Desde $m>1\Rightarrow \bigg\lfloor\dfrac{1}{m}\bigg\rfloor=0$ . Si además $m>2$ entonces también $\bigg\lfloor\dfrac{2}{m}\bigg\rfloor=0$ así que todo lo que tenemos que hacer es comprobar $m=2:$

$$\bigg\lfloor \frac{n}{2}\bigg\rfloor+\bigg\lfloor \frac{n+1}{2}\bigg\rfloor\leq n+1$$

Desde $\displaystyle\bigg\lfloor \frac{n}{2}\bigg\rfloor+\bigg\lfloor \frac{n+1}{2}\bigg\rfloor\leq \dfrac{n}{2}+\dfrac{n+1}{2}=n+\dfrac{1}{2}<n+1$ este caso se verifica.

Answer 3

Dejemos que $f(n)=\left\lfloor\frac{2n}m\right\rfloor -\left\lfloor\frac{n}m\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n+1}m\right\rfloor$

Entonces es fácil demostrar que $f(n+m)=f(m)$ y $f(n) \geq 0 \forall 0 \leq n \leq m-1$ .

Answer 4

Dejemos que $a={\sf floor}(\frac{n}{m})$ y $b={\sf floor}(\frac{n+1}{m})$ .

Tenemos $a \leq \frac{n}{m}$ y $b \leq \frac{n+1}{m}$ Así que $a+b \leq \frac{2n+1}{m}$ . Si esto fuera una igualdad, implicaría que ambos $a =\frac{n}{m}$ y $b = \frac{n+1}{m}$ para que $m$ dividiría a ambos $n$ y $n+1$ y, por lo tanto, dividir $n+1-n=1$ también, lo cual es absurdo.

Entonces tenemos la desigualdad estricta $a+b \lt \frac{2n+1}{m}$ , dando lugar a $m(a+b) \lt 2n+1$ . Desde $m,a+b$ y $2n+1$ son todos enteros, deducimos $m(a+b) \leq 2n$ . Así que $a+b$ es un número entero inferior a $\frac{2n}{m}$ por lo que es menor que el suelo de $\frac{2n}{m}$ como deseaba.