$f$ es una función real y $\alpha$ titular continua con $\alpha>1$. ¿Es constante el $f$?

Question

Tal vez este es un resultado, sin embargo, no pude encontrarlo. Antes de enunciarlo, permítanme escribir aquí un resultado (al menos para mí)

Suponga que $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ es un dominio abierto y $f:\Omega\to\mathbb{R}$. Si hay constantes $L>0$ $\alpha>1$ tal que $$|f(x)-f(y)|\leq L |x-y|^\alpha,\ \forall\ x,y\in\Omega$$ a continuación, $f$ es constante en cada unidad de $\Omega$.

El resultado anterior puede ser demostrado, por ejemplo, mostrando que $\nabla f=0$ y, a continuación, unimos los puntos en el mismo componente conectado por una curva continua.

Ahora mi pregunta es:

Suponga que $\Omega\subset\mathbb{R}^N$$f:\Omega\to\mathbb{R}$. Supongamos que hay constantes $L>0$ $\alpha>1$ tal que $$|f(x)-f(y)|\leq L |x-y|^\alpha,\ \forall\ x,y\in\Omega$$ Podemos concluir que el $f$ es constante en cada unidad de $\Omega$?

Tal vez es necesario añadir la hipótesis de que cada componente de $\Omega$ es pathwise conectado?

Observación: tenga en cuenta que en la pregunta, $\Omega$ no necesita ser un conjunto abierto. Ahora es cualquier conjunto.

Answer 1

Contraejemplo

Como de costumbre, studiosus es de derecho: la respuesta es negativa. Natural de la parametrización de un arco de la forma de copo de nieve de von Koch da un topológico de la incrustación de $g:[0,1]\to \mathbb R^2$ tal que $$|g(x)-g(y)|\ge C|x-y|^{p},\quad p=\frac{\log 3}{\log 4}$$ para todos los $x,y\in [0,1]$, $C$ independiente de $x,y$. El inverso $f=g^{-1}$ es un mapa continuo a partir de una curva de a $[0,1]$ que es Hölder continua con exponente $1/p>1$.

Más en general, para todos los $p\in (0,1)$ hay una topológico de la incrustación de $g$ $\mathbb R $ en un espacio Euclidiano tal que $$C |x-y|^p\le |g(x)-g(y)|\le C'|x-y|^{p}$$ para todos los $x,y\in\mathbb R $. Esto puede construirse directamente, u obtenidos como un caso especial de Assouad la incrustación de teorema. La inversa de a $g$ es Hölder continua con exponente $1/p$ que puede ser arbitrariamente grande.

Resultado positivo

A la conclusión de que la $f$ es constante, necesita un adicional geométricas (no sólo topológico) asunción en $\Omega$. Basta suponer que $\Omega$ es quasiconvex ($C$de manera tal que cada dos puntos de $x,y\in \Omega$ puede ser acompañado por una curva de longitud en la mayoría de las $C|x-y|$).

Aquí es un supuesto más débil: por cada $x,y\in \Omega$ no es un conjunto conectado a $E\subset \Omega$ que contiene tanto $x$ $y$ e tiene dimensión de Hausdorff menos de $\alpha$.

Prueba. Dado $x,y\in\Omega$, tome $E$ anterior. El comportamiento de la dimensión de Hausdorff en $\alpha$-Hölder mapas es bien conocido: $\operatorname{dim} f(E)\le \alpha \operatorname{dim} E$. Por lo tanto $\operatorname{dim} f(E)<1$. Por otro lado, $f(E)$ está conectado a un subconjunto de $\mathbb R$, es decir, un punto o un intervalo. Por lo tanto, $f(E)$ es un punto, y $f(x)=f(y)$. $\quad\Box$

Answer 2

Reclamo: Para $f$ como se indicó,$p > 1$, suponga que la región de $\Omega$ es la ruta de acceso conectado a la continua caminos finito de la variación total. A continuación, $f$ es constante en $\Omega$.

Para ver esto, vamos a $x$, $y$ y hay que elegir un camino de $v(t) : [0,1]\rightarrow \Omega$ finito de longitud de arco $l(v)$ que se conecta $x$$y$. Sin pérdida de generalidad supongamos $l(v)\ne 0$ (de lo contrario $f(x)=f(y)$.) Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Encontrar una partición $$ {0=t_{0} < t_{1} < \cdots t_{n}=1} $$ suficientemente sofisticados como para que $|v(t_{j-1})-v(t_{j})| < (\epsilon/2l(v))^{1/(p-1)}$ todos los $j$, lo cual es posible debido a que $x$ es continua en a $[0,1]$ y, por lo tanto, también uniformemente continua en a $[0,1]$. Entonces $$ \begin{align} |f(x)-f(y)| & \le \sum_{j=1}^{n}|f(v(t_{j-1}))-f(v(t_{j}))| \\ & \le L\sum_{j=1}^{n}|v(t_{j-1})-v(t_{j})|^{p-1+1} \\ & \le \frac{\epsilon}{2l(v)}\sum_{j=1}^{n}|v(t_{j})-v(t_{j-1})|\le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon. \end{align} $$ Debido a $\epsilon$ fue arbitrario y, a continuación,$f(x)=f(y)$. Esto es cierto para todos los puntos de $y$ conectado a $x$ por esos caminos, que lo es todo en este caso. Por lo $f$ es constante en $\Omega$.