Cuando debo usar $=$$\equiv$?

Question

En qué contexto debo usar $=$$\equiv$?

¿Cuál es la exacta diferencia?

Gracias!

(Yo no estaba seguro de qué etiqueta de esto, alguna sugerencia?)

Answer 1

El $\equiv$ símbolo significaba originalmente "es idénticamente igual a", y como el nombre lo indica se utiliza con las identidades. En realidad, es que indica que la igualdad se mantiene para todas las instancias de las variables libres. Por ejemplo, $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos{\theta}$ es verdadera para cualquier valor de $\theta$, por lo $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\equiv\cos{\theta}$.

La gente a menudo tengo que confundir con "iguales por definición", o "definido". Hay diferentes símbolos para aquellos significados, incluyendo el $\triangleq$ y ≝ (Unicode 0x225d). El $\equiv$ símbolo ha sido utilizado para este propósito tan a menudo que esto es ahora a veces se considera un uso correcto.

El $\equiv$ símbolo también fue reasignado a significar una relación de congruencia como varias de las otras respuestas han discutido.

Answer 2

El uso de $=$ cuando , precisamente, significa que los dos expresiones se refieren a la misma cosa. Por ejemplo, $2=1+1$ es la definición de 2, así que los dos lados son realmente la misma cosa. Sin embargo, en matemáticas avanzadas, a veces la gente se desenfoque el uso de $=$ a incluir isomorfo objetos, por ejemplo,$\mathbb{Z}$$\pi_1(\mathbb{S}^1)$, que en mi opinión es terrible.

Hay un par de situaciones en las cuales la gente usa los $\equiv$. Generalmente, $\equiv$ es una notación común para una relación de equivalencia, más a menudo, cuando la relación es de equivalencia en un ring $R$, e $a\equiv b$ al $a-b\in I$ por algún ideal $I$. Se dice entonces "$a\equiv b\bmod I$". El otro escenario que se me ocurre es cuando queremos decir que una función toma un valor determinado en todas partes en un conjunto, por ejemplo, si la función de $f(x)$ es igual a 1 para cada $x\in [0,1]$, pero podría hacer algo más por otro tipo de entradas, puedo escribir "$f\equiv 1$$[0,1]$".

Answer 3

Considere la posibilidad de Fermat poco teorema: $\rm\ a^p\ \equiv\ a\ \ (mod\ p)\ $ todos los $\rm\ a,\ p\in \mathbb Z\:,\:\ p\:$ prime. Esta congruencia también puede ser escrito como una igualdad en el ring $\rm\:\mathbb Z/p\:,\: $ por ejemplo $\:$ $\rm\ \bar a^{\:p}\ =\ \bar a\ $ $\rm\:\mathbb Z/p\:,\:$ donde $\rm\:\bar a\:$ denota la clase de equivalencia $\rm\ a + p\ \mathbb Z\ $ de todos los números enteros congruentes a $\rm\:a\:$ modulo $\rm\:p\:.\:$ Más, abusando de la notación, a menudo se cae la overbar de la notación. Esto tiene la importante consecuencia de que las ecuaciones de congruencia de los anillos mira, precisamente el mismo ecuaciones para los números enteros, por lo que podemos reutilizar nuestro bien practicado la intuición manipular entero ecuaciones (válido desde congruencias son las relaciones de equivalencia que goza de las mismas propiedades que los números enteros ecuaciones - se pueden agregar, multiplicado, etc).

Así, mientras que técnicamente, hay una diferencia importante entre una congruencia y una igualdad que es importante mantener en mente cuando el primer aprendizaje sobre congruencias - en la práctica esta distinción es a menudo de forma rentable borrosa, de modo que la analogía entre igualdades y congruencias puede ser explotado hasta la empuñadura. Para algunos ejemplos ver algunos de mis anteriores posts donde me explícitamente hacer hincapié en esos puntos.

Answer 4

Parece que $a \equiv b$ significa que $a$ es equivalente a $b$ con respecto a algunos de equivalencia de la relación de $R$.

Answer 5

A veces $\equiv$ es usado para significar "definida" aunque creo que := es la más común para que.