Distribución gamma y normal independiente

Question

Deje que $Z = X + Y$ donde $X \sim N \left ( \mu , \sigma ^2 \right )$ y $Y \sim \Gamma\left (k, \theta \right )$ usando este parametrización de la distribución Gamma. También asume $X$ y $Y$ son independientes. Entonces, ¿cuál es la distribución (pdf) de $Z$ ?

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Pensé que esta pregunta parecía sencilla, pero no lo parece. Por ejemplo, he intentado usar las fórmulas de convolución aquí pero parece que no puede encontrar una expresión de forma cerrada para la integral. También he intentado multiplicar las funciones generadoras de momento (mgfs) de $X$ y $Y$ pero no parece coincidir con ningún mgfs conocido.

¿Es posible encontrar una solución de forma cerrada para la distribución de $Z$ ? Si no, ¿qué tal algún tipo de aproximación?

Answer 1

Así que $X$ y $Y$ son independientes, con $$ f_X(x) = \frac {e^{-(x- \mu )^2/2 \sigma ^2}}{ \sqrt {2 \pi } \sigma } \, , $$ y $$ f_Y(y) = \frac {y^{k-1}e^{-y/ \theta }}{ \theta ^k \Gamma (k)} I_{(0, \infty )}(y) \, . $$ Si $Z=X+Y$ Entonces $$ f_Z(z)= \int_ {- \infty }^ \infty f_X(z-y) f_Y(y)\,dy \, . $$ Completando el cuadrado en el exponente y buscando los términos que implican $y$ encontramos que la integración necesaria en $y$ es $$ A(z)= \int_0 ^ \infty \frac {y^{k-1} e^{-(y-z- \mu + \sigma ^2/ \theta )^2/2 \sigma ^2}}{ \sqrt {2 \pi } \sigma } \,dy \, , $$ que es disponible en en casos especiales. Por ejemplo, si $k$ es un entero impar, entonces $$ A(z) = \frac {1}{2} \mathrm {E}[U^{k-1}] \, , $$ en el que $$ U \sim\mathrm {N} \left ( z- \mu + \frac { \sigma ^2}{ \theta }, \sigma ^2 \right ) \, . $$ Por favor, comprueba el álgebra y agrupa los términos restantes para obtener la expresión final de $f_Z(z)$ dependiendo de $A(z)$ .