' categórico ' definición de morfismo presheaf sobreyectiva vs la

Question

Si $X$ es un espacio topológico, $\mathcal{F},\mathcal{G}$ son poleas en $X$ con valores en un abelian categoría $\mathcal{C}$, e $f:\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ es una de morfismos de poleas, entonces podemos definir una gavilla $\operatorname{coker}f$ como el sheafification de la presheaf definido por $U\mapsto\operatorname{coker}f_U$ donde $U\subseteq X$ es abierto y $f_U:\mathcal{F}(U)\to\mathcal{G}(U)$ es el mapa en secciones de más de $U$. $f$ a continuación, se llama surjective si $\operatorname{coker}f$ es el cero de la gavilla. Es conocido (ver aquí por ejemplo) que $f$ surjective no significa que todas las $f_U$ tienen que ser surjective, aunque es verdad que para los mapas en los tallos.

Hace poco me topé con las Pilas Proyecto y sólo por curiosidad he echado un vistazo a uno de los capítulos, a saber, el capítulo sobre los Sitios y las Poleas. Un 'categórico' presheaf se define como un functor $\mathcal{F}:\mathcal{C}^\circ\to\mathbf{Set}$ para algunos categoría $\mathcal{C}$, y morfismos entre presheaves como natural transformaciones entre tales functors. Dicen que una de morfismos $f$ de presheaves es surjective si los correspondientes mapas en las secciones son surjective (Def. 3.1).

Mi pregunta es: ¿cómo estas dos definiciones ir juntos? Yo sé que en realidad no se superponen, ya que "categórico' presheaves tomar valores en $\mathbf{Set}$, pero siento que debe haber alguna conexión, al menos. He publicado una pregunta similar hace algunos días, pero estaba lleno de errores, de ahí que me borra de nuevo. Algunas cosas para hacer mis puntos de confusión un poco más claro, esperemos que:

• En el primer párrafo, ¿tiene sentido definir surjectivity de presheaf morfismos a través de la cokernel presheaf, o sólo es bueno para el real poleas (ya que nunca he visto una definición para presheaves).

• Si tomamos $\mathcal{C}$ en el segundo párrafo a ser la categoría de subconjuntos abiertos de algunas espacio topológico $X$, $\mathbf{Top}(X)$, podríamos hablar de presheaves en $X$ con valores en $\mathbf{Set}$ (que no es abelian de curso). Un 'ordinario' (pre)gavilla de, digamos, $k$-álgebras en $X$ podría ser considerado como tal presheaf. Ahora si $f$ es una de morfismos de poleas en un espacio topológico $X$ que es surjective en el primer sentido no tiene por qué ser surjective en el sentido de 'categórico' presheaves en $\mathbf{Top}(X)$, o tengo un error en el que hay en cualquier lugar?

Yo estaría encantado si tal vez alguien podría explicar en detalle la conexión entre las nociones de presheaf y surjective presheaf de morfismos en esos dos sentidos diferentes. Muchas gracias! (Nota: voy a estar fuera unos días, así que probablemente no será capaz de reaccionar a los comentarios / respuestas de inmediato, pero debo estar de vuelta el lunes).

Answer 1

Que definición categórica es para pre-poleas, la definición topológica es para las poleas.

En topológico pre-poleas, un mapa es surjective si es epimorphic para cada conjunto abierto $U$$X$.

En topológico gavillas, sin embargo, que en lugar de tener que "gavilla-a" la definición, y nos dicen que el mapa es "surjective" si la gavilla-ification de la cokernel mapa es cero.

Básicamente, en ambos casos, usted tiene dos categorías, $\mathcal{Sh}$$\mathcal{PSh}$, y en $\mathcal{PSh}$, el "surjective" los mapas son los que están epimorphisms en cada una de las $U$, pero en el $\mathcal{Sh}$ catageory, tiene una más complicada definición de "surjective" (o "epimorphism.")

Considerar, en cambio, dos categorías, $\mathcal{Ab}$ la categoría de abelian grupos, y $\mathcal{AbTF}$, el pleno de la subcategoría de "torsiones" abelian grupos, es decir, la abelian grupos, $A$, en la que por cualquier $n\in\mathbb Z$ y $a\in A$, $na=0$ iff $n=0$ o $a=0$.

No es la inclusión natural functor $\mathcal{AbTF}\to\mathcal{Ab}$ natural y un adjunto envío de $A\to A/N(A)$ donde $N(A)$ es el subgrupo de nilpotent elementos de $A$.

Pero en $\mathcal{AbTF}$, el "epimorphisms" no son los únicos con cokernel (en $\mathcal{Ab}$) $0$, ellos son los que tienen cokerkels que se nilpotent. Así, por ejemplo, en $\mathcal{Ab}$, los morfismos $\mathbb Z\to\mathbb Z$ envío de $x\to 2x$ no es un epimorphism, ese mismo mapa, cuando se la considera como un mapa en $\mathcal{AbTF}$, es un epimorphism.

Así que considera el "sheafification" functor $\mathcal{PSh}\to \mathcal{Sh}$ a ser tanto como el functor $\mathcal{Ab}\to\mathcal{AbTF}$.

(Creo, pero no me cita, que $f:A\to B$ $\mathcal{AbTF}$ es un epimorphism si y sólo si $f\otimes \mathbb Q:A\otimes \mathbb Q\to B\otimes\mathbb Q$ es un epimorphism en $\mathcal{Ab}$.)

Answer 2

Hay una noción general de epimorphism que se aplica a cualquier categoría. En un Abelian categoría, una de morfismos es epimorphic si y sólo si su cokernel es cero.

Hay una similar caracterización que funciona en cualquier categoría: una flecha $f:A \to B$ es un epimorphism si y sólo si su pushout es isomorfo a $B$. Más precisamente, si y sólo si el siguiente es un diagrama de pushout

$$ \begin{matrix} A &\to& B \\ \downarrow & & \downarrow \\ B &\to& B \end{matrix} $$

donde la parte superior izquierda y las flechas son tanto $f$ y la parte inferior y derecha de las flechas son las dos identidades.

Pushouts y cokernels ambos son ejemplos de colimits.

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Bien, ahora vamos a considerar la categoría de presheaves. Lo que estoy a punto de decir se aplica igualmente bien a las poleas de los conjuntos, de abelian grupos, y cosas similares.

(Nota de la topológico caso es un caso especial de la general, así que todo lo que voy a decir se aplica aquí también. La correspondencia es que la categoría de dominio es el poset de bloques abiertos, y hay una topología adecuada para activar esta categoría en un sitio)

La característica principal de presheaves que están "aburridos": por ejemplo, límites y colimits de presheaves ambos son calculados pointwise. es decir,

$$ \left( \text{colim}_j P_j \right)(U) = \text{colim}_j P_j(U) $$

Esto significa que el cokernel de un morfismos de presheaves es la presheaf de cokernels que se describen anteriormente. Del mismo modo, un pushout de presheaves es el prehseaf de pushouts.

La anterior caracterización de epimorphisms en términos de colimits, entonces, nos dice que si una de morfismos de presheaves es epimorphic, entonces es pointwise epimorphic (es decir, que todos los de su $f_U$ son epimorphisms). Con cuidado, se puede argumentar que este es un si y sólo si.

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Ahora, tenga en cuenta la categoría de las poleas. Hay dos importantes functors: el sheafification functor $a : \mathcal{PSh} \to \mathcal{Sh}$ y el olvido functor $i : \mathcal{Sh} \to \mathcal{PSh}$ (probablemente view $i$ simplemente como ser la inclusión de una subcategoría).

De la nota particular es que $a \circ i$ es (isomorfo a) la identidad functor (es decir, olvidando que una gavilla $F$ es una gavilla, a continuación, sheafifying da $F$), y que $(a,i)$ formas de la contigüidad. La propiedad relevante aquí es que el $a$, siendo la una a la izquierda adjunto, conserva todas colimits. ($a$ es especial, que también preserva límites finitos, pero nosotros no lo necesitan)

Dadas estas functors, podemos calcular colimits de poleas:

$$ \text{colim}_j A_j = \text{colim}_j a(i(A_j)) = a\left(\text{colim}_j i(A_j) \right) $$

por ejemplo, el pushout de poleas es la sheafification de la correspondiente pushout de presheaves. O en el abelian caso, la cokernel de un morfismos de poleas es la sheafification de la correspondiente cokernel de presheaves. Este último hecho es el cálculo que usted describe en su post.

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Monomorphisms similares caracterizaciones, pero están mejor educados: resulta que los límites de las poleas se calcula siempre pointwise, por lo que una de morfismos es monomórfica si y sólo si es pointwise monomórficas.

Una forma de ver este hecho es

$$ \lim_j F_j(U) = \lim_j \hom(yU, F_j) = \hom(yU, \lim_j F_j) = (\lim_j F_j)(U) $$

donde $yU$ es el sheafification de la presheaf $V \mapsto \hom(V, U)$. ($y$ es el "Yoneda incrustar")

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Estoy fuera de práctica, pero yo creo que el siguiente párrafo es verdadera:

Los tallos son igualmente aburrido: el tallo de un límite finito o arbitrarias colimit es el límite o colimit de los tallos. Así que un epimorphism de poleas es también epimorphic en los tallos. Si un sitio tiene "suficientes puntos", lo contrario es cierto. Los sitios que se utilizan en la topológico caso de tener suficientes puntos.