Orden de crecimiento de la función entero $\sin(\sqrt{z})/\sqrt{z}$

Question

Mostrar que $$f(z)=\frac{\sin\sqrt z}{\sqrt z}$$ es toda una función de orden finito $\rho$ y determinar $\rho$.

He observado que las dos determinaciones de la raíz cuadrada se diferencian sólo por el signum. Desde $\sin(-z)=-\sin z$, $f(z)$ está bien definido, y todo porque es el cociente de dos funciones con el denominador nunca se desvanece. Por el orden que yo uso la expansión de Taylor $$\sin z=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ que para $z=\sqrt z$ da $$\sin\sqrt z=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^{n}\sqrt z}{(2n+1)!}$$ Así $$\frac{\sin\sqrt z}{\sqrt z}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^{n}}{(2n+1)!}$$ Entonces tenemos $$(2n+1)!\geq2^n n!$$ por lo tanto $$|\frac{\sin\sqrt z}{\sqrt z}|\leq\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\frac{|z|}{2})^{n}}{n!}=e^{|z|/2}$$

Esto (si es correcto) muestra que $\rho\leq\frac{1}{2}$. Cómo se puede mostrar la identidad?

Answer 1

Para mostrar el $\rho \geq 1/2$, escriba

$$ f (z) = \frac{\sin \sqrt{z}}{\sqrt{z}} = \frac{e^{i\sqrt{z}}-e^{-i\sqrt{z}}}{2i\sqrt{z}} $$

y mostrar

$$ f \sim \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} $$

$x \to \infty$ $x > 0$.

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Aclaración: si es orden $f$ $\rho'$ entonces para cualquier $\rho>\rho'$ allí es $C$ tal que $$|f(z)| \leq C \exp(|z|^\rho)$$ so that $ | f (z) | \exp (-| z | ^ \rho) $ is bounded. In particular, $$|f(-x)| \exp(-x^\rho)$$ is bounded as $x # \to \infty$. Now suppose $\rho'< 1/2$, pick $\rho\in (\rho',1/2)$ y uso la estimación asintótica anterior.