Teorema de Rham-Weil

Question

Estoy teniendo problemas para entender un par de puntos con respecto a la De Rham-teorema de Weil y tenía la esperanza de que alguien pueda ser capaz de arrojar algo de luz.

Deje $X$ ser suave, un colector y $\mathcal{F}$ la gavilla de abelian grupos en $X$. El teorema establece que $H^q(X,\mathcal{F}) \cong H^q((A^{\bullet}(X),d_x))$ donde $(A^{\bullet}(X),d_x)$ es el complejo de global secciones para una acíclicos resolución de $0 \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow A^{\bullet}$. Pero, si entiendo que la definición correcta (supongo que no), un acíclicos resolución trivial mayor cohomology grupos. Entonces el teorema implica que para cualquier gavilla de la mayor cohomology grupos son triviales?

Además, tengo una propuesta que en mis notas diciendo que cualquier soft de resolución de $\mathcal{F}$ es acíclico. Pero, por ejemplo, la resolución Canónica es suave, pero el mayor cohomology grupos son cero sólo si $\mathcal{F}$ es suave en sí, correcto?

A riesgo de sonar tonto, ¿qué está mal con esta imagen? Gracias.

Answer 1

Creo que el malentendido viene de los diferentes tipos de cohomology involucrados, el cohomology derivadas de tomar una acíclicos resolución, la cohomology derivadas de la toma de la canónica de la resolución, y posiblemente otros. Escribiremos $H^k(\mathcal{A}^{\bullet}(X),\mathcal{F})$ para el cohomology obtenido a partir de un acíclicos resolución, $H^k(X,\mathcal{F})$ para el cohomology obtenidos a partir de la resolución canónica. Es posible que esté usando diferentes definiciones, la participación de Cech cohomology o derivados de functors, en cuyo caso, hágamelo saber y voy a editar en consecuencia.

Lo que recuerda es que $\mathcal{F}$ $\textit{defined}$ a ser acíclicos si $H^k(X,\mathcal{F}) \cong 0$ todos los $k \geq 1$. Una resolución de la $0 \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{A}^\bullet$ $\textit{defined}$ a ser acíclicos si $H^k(X,\mathcal{A^j}) \cong 0$ todos los $j$, y para todos los $k\geq 1$. En otras palabras, si todos los de la $\mathcal{A}^j$ son acíclicos. En este caso, la secuencia formada por tomar global de secciones de un acíclicos resolución no necesita ser acíclicos (que es, me imagino, donde la confusión se produce). Esto es ciertamente confuso, porque en álgebra decimos que una cadena compleja es acíclico si es cohomology es $0$.

También es cierto que cualquier soft gavilla (en un paracompact, espacio de Hausdorff) es acíclico, si $\mathcal{F}$ es suave, a continuación, $H^k(X,\mathcal{F}) \cong 0 $ todos los $k \geq 1$. Es verdad más general que cualquier flácido (o tal vez flasque, dependiendo de cómo francés te sientes) gavilla es suave y acíclicos (creo que son acíclicos en cualquier espacio topológico). No es cierto en general, que una acíclicos gavilla es suave, es decir, de fuga superior cohomology no implica que el $\mathcal{F}$ es suave.

El De Rham-Weil teorema establece que si $0 \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{A}^\bullet$ es un acíclicos resolución de $\mathcal{F}$,$H^k(X,\mathcal{F}) \cong H^k(\mathcal{A}^{\bullet}(X),\mathcal{F})$. (Supongo que esto es la versión que usted se refiere).

De hecho, un enfoque para la definición de gavilla cohomology es mostrar que $H^k(\mathcal{A}^{\bullet}(X),\mathcal{F})$ está bien definido, independiente de la elección de acíclicos resolución (este teorema también puede ser denominado como la De Rham-teorema de Weil, ya que probar que dos acíclicos resoluciones tienen el mismo cohomology es equivalente a mostrar que cualquier acíclicos resolución tiene el mismo cohomology como la canónica de resolución) y, a continuación, utiliza esta opción para definir $H^k(X,\mathcal{F})$. También puede definir el cohomology a la deriva functor asociada a "tomar global secciones" y, a continuación, muestran que este puede ser calculado con acíclicos más que inyectiva resoluciones. En el contexto de las poleas, este también puede ser conocido como el De Rham-teorema de Weil.

Si usted está pensando de la misma canónica de la resolución de yo soy (eso espero, de lo contrario no sería particularmente canónica), es suave, y de hecho es flácida. Esto es lo que significa que se puede utilizar para definir el cohomology de $\mathcal{F}$. El De Rham-teorema de Weil dice que podemos usar cualquier acíclicos resolución, pero la canónico es canónica, por lo tanto es sensible a elegir como una definición, por lo que el cohomology es un grupo, en lugar de un isomorfismo clase de grupos.

Answer 2

1) Incluso si el complejo de poleas $(A^{\bullet}(X),d^\bullet)$ es exacta en cierto grado, esto no implica que los correspondientes complejos de global secciones es exactamente en el mismo grado.
Por ejemplo, en el plano perforado $\mathbb C^*$ el complejo de poleas $\mathcal O \stackrel {d}{\to} \mathcal O\to 0$ (donde $df=f'$) es exacta, pero los correspondientes complejos de global secciones $\mathcal O (\mathbb C^*)\stackrel {d}{\to} \mathcal O(\mathbb C^*)\to 0$ no es exacta ya que no holomorphic de la función en $\mathbb C^*$ ha derivado $\frac 1z$: $\log$ no puede ser definida globalmente en $\mathbb C^*$.

2) Esto explica que una gavilla que tiene un suave resolución puede muy bien haber no desapareciendo cohomology en cualquier grado.
Sin embargo, su afirmación de que una gavilla puede tener fuga cohomology sólo si es suave está mal.
Por ejemplo, la gavilla $\mathcal O$ de holomorphic funciones en $\mathbb C$ definitivamente no es suave: no se puede extender la función de $\frac {1}{z-2}$ definido en la cerrada de la unidad de disco $\mid z \mid \leq 1$$\mathbb C$.
Pero, sin embargo, $H^i(\mathbb C,\mathcal O)=0$ todos los $i\geq 1$ .