Números de la forma $8k^2-1$ en una secuencia definida por $a_0=-1$ , $a_1=1$ y $a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n$ .

Question

Supongamos una secuencia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ se define por $a_0=-1$ , $a_1=1$ y $$a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n$$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Encuentre todos los $n$ tal que $a_n$ es de la forma $8k^2-1$ para algunos $k\in\mathbb{N}$ .

El problema viene de Olimpiada Nacional de Bulgaria 2003, Problema 3 :

Dada la secuencia $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}_+}$ definido por $y_1=y_2=1$ y $$y_{n+2}=(4k-5)y_{n+1}-y_n+4-2k,\qquad n\in\mathbb{N}_+.$$ Encuentre todos $k\in\mathbb{Z}$ tal que $y_n$ es un cuadrado perfecto para todos $n\in\mathbb{N}_+$ .

Intenté resolver este problema utilizando el hecho de que $y_2=2k-2$ y $y_3=8k^2-20k+3$ son cuadrados perfectos. Sea $2k-2=(2u)^2$ y $8k^2-20k+3=v^2$ y tenemos la ecuación de Pell negativa $$(8u^2-1)^2-2v^2=-1.$$ La solución general de $x^2-2y^2=-1$ viene dada por $x_n+y_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2n+1}$ Así, se llega a mi pregunta original.

Obviamente, $a_0=-1$ y $a_2=7$ es de la forma $8k^2-1$ . ¿Cómo puedo demostrar que estas son las únicas soluciones?

Answer 1

Trabajo en curso ...

Propuesta 1. $a_{2k} \equiv -1 \pmod{8}$

Prueba. Dejando el material teórico aparte El polinomio característico de la secuencia recurrente es $$x^2-6x+1=0$$ con las soluciones $x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$ Por lo tanto $$a_n=A(3-2\sqrt{2})^n+B(3+2\sqrt{2})^n$$ o, dadas las condiciones iniciales $$a_n=\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)(3-2\sqrt{2})^n+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)(3+2\sqrt{2})^n$$ Una cosa que hay que mencionar es que $$(3-2\sqrt{2})^n=C-D\sqrt{2}\\ (3+2\sqrt{2})^n=C+D\sqrt{2}$$ ambos $C,D \in \mathbb{Z}$ y $$a_n=2D-C$$ Pero $$C=3^{n}+\binom{n}{2}3^{n-2}(2\sqrt{2})^2+\binom{n}{4}3^{n-4}(2\sqrt{2})^4+...=3^{n}+8Q$$ $$D=\binom{n}{1}3^{n-1}2+\binom{n}{3}3^{n-3}2^3\sqrt{2}^2+\binom{n}{5}3^{n-5}2^5\sqrt{2}^4+...=n3^{n-1}2+8R$$ Así, $$a_n+1=2D-C+1=n3^{n-1}4-3^{n}+1+16R-8Q$$ O si $$3^{n-1}(4n-3)+1\equiv 0 \pmod{8} \Rightarrow a_n \equiv -1 \pmod{8}$$ lo cual es cierto sólo para los $n=2k$ ya que $$4n-3=8k-3 \equiv -3 \pmod{8}\Rightarrow 3^{n-1}(4n-3)+1 \equiv -3^{2k}+1 \equiv 0 \pmod{8} \tag*{$\blacksquare$}$$

Nota para impar $n=2k+1 \Rightarrow 4n-3=8k+1 \equiv 1 \pmod{8} \Rightarrow$ $3^{n-1}(4n-3)+1 \equiv 3^{2k}+1 \not\equiv 0 \pmod{8}$ ya que $9 \equiv 1 \pmod{8}$ .