Soluciones de$\sin2x-\sin x>0$ con$x\in[0,2\pi]$

Question

¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación con$x\in[0,2\pi]$? $$\sin2x-\sin x>0$ $ Tomé esto a$$(\sin x)(2\cos x-1)>0$ $ Ahora necesito que ambos términos sean el mismo signo. ¿Puedes ayudarme a solucionar esto?

Answer 1

$$ \begin{align}\sin(2x)-\sin(x)&=2\sin(x)\cos(x)-\sin(x)\\ &=2\sin(x)(\cos(x)-\frac{1}{2})\tag{1} \end {align} $$ Examinamos los dos factores:$$\cos(x)=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$ $ Y$$\cos(x)-\frac{1}{2}>0,\, 0<x<\frac{\pi}{3} \text{ and } \frac{5\pi}{3}<x<2\pi$ $$$\cos(x)-\frac{1}{2}<0,\, \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}$ $ El otro término es$\sin(x)$:% #% ps

$$\sin(x)>0,\, 0<x<\pi$ $ Así que en el siguiente intervalo el producto es positivo:$$\sin(x)<0,\, \pi<x<2\pi$ $

Answer 2

Usando Fórmula Prosthaphera,

ps

Comprobar $$\sin2x-\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac{3x}2$

Otra para$x=0,2\pi$

Así que necesitamos$0<x<2\pi,\sin\dfrac x2>0$ $ que es posible

Si $$\cos\dfrac{3x}2>0$

o si $2m\pi\le\dfrac{3x}2<2m\pi+\dfrac\pi2\iff\dfrac{4m\pi}3\le x<\dfrac{(4m+1)\pi}3$

donde$2n\pi+\dfrac{3\pi}2<\dfrac{3x}2\le2n\pi+2\pi\iff\dfrac{(4n+3)\pi}3<x\le\dfrac{4(n+1)\pi}3$ son enteros arbitrarios.

Nuevamente necesitamos$m,n$ $

ps

Answer 3

Cuando$\sin x>0$, ie$x\in(0,\pi)$, la inequación se reduce a$\cos x>1/2$, es decir,$x\in(0,\pi/3)$.

Cuando$\sin x<0$, ie$x\in(\pi,2\pi)$, la inequación se reduce a$\cos x<1/2$, es decir,$x\in(\pi,2\pi-\pi/3)$.