Límites en el infinito racionalizando

Question

Estoy tratando de evaluar este límite para una tarea. $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2-6x +1}-x$$

He intentado racionalizar la función: $$=\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-6x +1}-x)(\sqrt{x^2-6x +1}+x)}{\sqrt{x^2-6x +1}+x}$$

$$=\lim_{x \to \infty} \frac{-6x+1}{\sqrt{x^2-6x +1}+x}$$

Luego multiplico la función por $$\frac{(\frac{1}{x})}{(\frac{1}{x})}$$

Llevando a

$$=\lim_{x \to \infty} \frac{-6+(\frac{1}{x})}{\sqrt{(\frac{-6}{x})+(\frac{1}{x^2})}+1}$$

Tomando el límite, veo que todos los términos de x tienden a cero, dejando -6 como respuesta. Pero -6 no es la respuesta. ¿Por qué?

Answer 1

Deberías haber conseguido, después del último paso:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-6+\frac1x}{\sqrt{1-\frac6x +\frac1{x^2}}+1}=\frac{-6}{2}=-3$$

por lo que, de hecho, sólo tuvo un error aritmético menor, aunque bastante influyente.

Answer 2

Debe ser $$\lim _{ x\to \infty } \frac { -6x+1 }{ \sqrt { x^{ 2 }-6x+1 } +x } =\lim _{ x\to \infty } \frac { x\left( -6+\frac { 1 }{ x } \right) }{ x\left( \sqrt { 1-\frac { 6 }{ x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } +1 \right) } =\frac { -6 }{ 2 } =-3$$

Answer 3

Su error está aquí: $$\frac{\sqrt{x^2-6x +1}-x}{x}=\sqrt{1-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}}+1$$

Answer 4

Lleva a

$$=\lim_{x \to \infty} \frac{-6+(\frac{1}{x})}{\sqrt{1-(\frac{6}{x})+(\frac{1}{x^2})}+1}$$

Y así el límite es $-3$