El argumento es básicamente bueno, pero la notación en la última línea es un poco off: cuando usted escribe $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}$, usted está diciendo que usted quiere tomar la unión de algunos de los conjuntos indexados por los números naturales. Lo que sigue a $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}$ debe ser un típico uno de estos conjuntos con el índice de $n$. Si supieras que cada miembro de $\mathcal{B}$ es compacta, por ejemplo, usted podría escribir $X = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\operatorname{cl}B_n$. Lo que queremos aquí es, simplemente,$X = \bigcup \{\operatorname{cl}B:B \in \mathcal{B}\text{ and}\operatorname{cl}B\text{ is compact}\}$.
De hecho, usted nunca se necesitan para el índice de $\mathcal{B}$ en el primer lugar. Es perfectamente correcto decir esto:
- Deje $\mathcal{B}$ ser una contables de la base. Desde $X$ es localmente compacto, para cada una de las $x\in X$ hay un abrir nbhd $U_x$ $x$ compacto con cierre, y desde $\mathcal{B}$ es una base para $X$, hay algunos $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_x \subseteq U_x$. Claramente cada una de las $B_x$ ha compacto de cierre, y $X = \bigcup\limits_{x\in X}\operatorname{cl}B_x$. Sólo hay countably muchos miembros distintos de $\mathcal{B}$, por lo que hay sólo countably muchos diferentes conjuntos de $B_x$, y por lo tanto hemos expresado $X$ como la unión de countably muchos compacto subconjuntos, como se desee.
O usted podría sustituir la última frase con algo como esto:
- $\{B_x:x\in X\} \subseteq \{B \in \mathcal{B}:\operatorname{cl}B\text{ is compact}\} \subseteq \mathcal{B}$, lo $\{B_x:x\in X\}$ es contable, y $X = \bigcup\limits_{x\in X}\operatorname{cl}B_x$, por lo que manifiesta $X$ como una contables de la unión de los subconjuntos compactos.
Hay muchas otras muy buenas maneras de hacerlo; sólo estoy tratando de dar una idea de lo que es posible, ya que estamos trabajando en la prueba de la escritura está en las matemáticas mismas.
