¿Cómo mostrar la media y la desviación estándar de la distribución normal?

Question

Si una muestra es normal con observaciones independientes e idénticamente distribuidas:

$\mu|\sigma^2 \propto N(\beta \,,\,\sigma^2/\, n_0)$

¿Cómo puedo mostrar que$\mu\,|\,x_1,x_2,....x_n\,,\,\sigma^2 \sim N(\frac {n\bar{x} + n_o\beta}{ n + n_o} \, , \frac {\sigma^2}{n + n_o})$? He estado tratando de resolver esto por días. Originalmente asumí que la media y$x_1,....x_n$ se distribuían normalmente y la varianza como chi al cuadrado distribuido pero no sé cómo incorporar los tres de una manera para obtener una distribución normal.

Answer 1

Dado que solo los términos que implican$\mu$ son relevantes, dejaré de usar términos multiplicativos sin involucrarlo sin advertencia. $$\begin{align*} [\mu | x_1,\ldots,x_n,\sigma^2] &\propto [x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2] \times [\mu|\sigma^2]\\ &\propto \prod_i \exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}) \times \exp(-\frac{(\mu-\beta)^2}{2\sigma^2/n_0})\\ &= \exp(-\frac{\sum_i(x_i-\mu)^2 + n_0(\mu-\beta)^2}{2\sigma^2})\\ & =\exp(-\frac{\sum_i (x_i^2 -2\mu x_i + \mu^2) +n_0(\mu^2-2\mu\beta+\beta^2)}{2\sigma^2})\\ &\propto \exp(-\frac{\mu^2(n+n_0) - 2\mu(\sum_i x_i + n_0\beta)}{2\sigma^2})\\ & \propto\exp(-\frac{(n+n_0)(\mu - \frac{\sum_i x_i + n_0\beta}{n+n_0})^2}{2\sigma^2})\\ & = \exp(-\frac{(\mu - \frac{n\bar{x}+ n_0\beta}{n+n_0})^2}{2\sigma^2/(n+n_0)}) \end{align*}$$

El último término es reconocible como el pdf de la distribución$N(\frac{n\bar{x}+ n_0\beta}{n+n_0}, \frac{\sigma^2}{n+n_0})$. Tenga en cuenta que la distribución de chi cuadrado no era necesario, porque la varianza de la muestra$S^2$, que necesita esta distribución, no se utilizó en ninguna parte.