Suma de n enteros consecutivos

Question

Es bien sabido que$1+2+3+4+...+n= \frac{n(n+1)}{2}$, esta fórmula se puede encontrar usando la progresión aritmética simple. Pero la suma también se puede encontrar usando${n+1 \choose 2}$, que es n 1 elegir 2. ¿Puede alguien explicar la relación entre el coeficiente binomial y la suma de enteros consecutivos? Encontré la fórmula del coeficiente binomial en wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number

Answer 1

Si todos los $n + 1$ de la gente en una fiesta estrechar la mano de cada uno de los otros de tal forma que cada dos personas se estrechan las manos exactamente una vez, ¿cuántos apretones de manos hay?

Vamos a contar el número de apretones de manos de dos maneras diferentes:

1. La primera persona que da la mano con el resto de las $n$ de la gente. La segunda persona se estrecharon la mano con la primera ya, así que él se sacude las manos con el resto de $n - 1$ de la gente. Y continuar de esta forma, el último-pero-una persona que da la mano con la última $1$ persona. La última persona da la mano con ninguno. Por lo que el número de apretones de manos es $n + (n - 1) + \ldots + 1$ = $1 + 2 + \ldots + n$.
2. El número de apretones de manos es el número de maneras de seleccionar un par de personas de $n + 1$ de la gente (porque cada posible par de batidos de manos exactamente una vez), que es $\binom {n + 1} 2$.

Dado que el número de apretones de manos es el mismo, no importa cómo lo cuentan (correctamente) $$1 + 2 + \ldots n = \binom {n + 1} 2$$

Answer 2

Creo que esta es una mejor manera que justifica el nombre Triangular Número. Consideremos la derecha) arreglo triangular con $n$ filas y columnas, las filas indexados por $i = 1, 2, \ldots n$, y las columnas indizadas por $0, 1, \ldots n - 1$: $$\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ \vdots \\ n\\ \ \end{de la matriz}\left| \begin{matrix} *&\\ *& *\\ *& *& *&\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots\\ *& *& *& \ldots & *\\ \hline 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \end{de la matriz}\right.$$

El número total de objetos es, obviamente, $1 + 2 + \ldots + n$ (la suma de la cantidad de objetos en cada fila). Sin embargo, observar que cada objeto corresponde a un único par de la forma $(i, j)$ $j < i$ donde $i$ es la fila y $j$ es la columna ocupada por el objeto. Por lo tanto el número de objetos es el número de pares, que es el número de los distintos pares de la $n + 1$ números de $0, 1, \ldots, n$, y que es $\binom {n + 1} 2$.

Answer 3

Cuando miras los objetos$n+1$ entonces intenta contar manualmente cuántas maneras podemos elegir$2$ objects.

Primero podemos contar los pares$n$ de objetos consecutivos, luego los pares$n-1$ que tienen un objeto intermedio y así sucesivamente hasta que tengamos el par$1$ con$n-1$ Entre. Así, aquí podemos ver que el número de formas de elegir dos objetos es$n + n-1 + n-2 + \cdots + 2 + 1$ que es exactamente lo que$\sum_{k=1}^n k$ es. Así llegamos a la conclusión de que$\sum_{k=1}^n k = \binom{n+1}{k}$.

Answer 4

INSINUACIÓN:

Si empieza a elegir$2$ elementos de$n+1,$ say$a_i(1\le I\le n+1)$

primero elige el elemento$1$ (diga$a_0$), el otro puede elegirse del resto$n:\{a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n\}$ elements

para el siguiente elemento$a_1$, el otro se puede elegir entre los demás elementos$n-2:\{a_2,\cdots,a_{n-1},a_n\}$ como$a_0a_1$ ya ha sido elegido como el orden inmaterial aquí

Pronto