¿Es cierto que para cualquier$A\in M(n,\mathbb{C})$ existe un$B\in M(n,\mathbb{C})$ tal que$A = B^2$? Creo que esto no es cierto (pero no sé nay ejemplo), y entonces es posible caracterizar tal$A$?
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GmonC
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No, no es cierto que cada complejo la plaza (sin juego de palabras) de la matriz es el cuadrado de al menos uno de los otros de la matriz. El más simple contraejemplo es $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$.
Aquí está un rápido análisis. Cualquier raíz cuadrada de $A$ le conmuta con $A$, por lo que tendrá que estabilizar todos sus generalizada subespacios propios (núcleos de $(A-\lambda)^k$ adecuada $\lambda\in\mathbf C$, $k\in\mathbf N$), y por lo tanto la suma directa de la descomposición de todo el espacio en dichos subespacios. Esto significa que podemos énfasis en el individuo generalizada subespacios propios, lo que equivale a asumir que el $A$ sólo tiene un autovalor $\lambda$.
Si $A$ tiene un único autovalor $\lambda\neq0$, entonces podemos escribir $A=\lambda(I+N)$ donde $N$ es nilpotent de la matriz, y en este caso de una raíz cuadrada es dado por $\sqrt\lambda\sqrt{I+N}$ donde $\sqrt\lambda$ denota un complejo de las raíces cuadradas de $\lambda$, e $\sqrt{I+N}$ está dada por Newton de la fórmula binominal $$ \sqrt{I+N}=\sum_{k=0}^\infty\binom{1/2}kN^k, $$ que en realidad es una suma finita desde $N$ es nilpotent.
Así que nos quedamos con el caso de que $A$ sí es nilpotent, y aquí una raíz cuadrada no siempre existen. Sobre una base adecuada $A$ será en forma normal de Jordan, y si $A$ tiene una raíz cuadrada depende de los tamaños de los bloques de Jordan. Una raíz cuadrada en cualquier caso, sí se nilpotent, por lo que es útil analizar lo que sucede con el tamaño de los bloques de Jordan cuando tomamos la plaza. Es fácil ver que cualquier Jordania bloque de tamaño $d>1$ da al cuadrado de dos bloques de Jordan de los tamaños de las $\lceil\frac d2\rceil$$\lfloor\frac d2\rfloor$. Inversamente por lo tanto, un nilpotent matriz tiene una raíz cuadrada si y sólo si los tamaños de sus Jordania bloques pueden ser agrupadas de dos en dos, con la posibilidad de un bloque aislado de tamaño $1$, de tal manera que dos tamaños de bloque se agrupan nunca difieren en más de$~1$. En el ejemplo anterior que tiene un único bloque de tamaño $2$ no tiene raíz cuadrada, pero si ampliamos al tamaño $3\times3$ por una fila y una columna de entradas de $0$ lo que hace: $$ \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}^2. $$ Una sola nilpotent Jordania bloque de tamaño $3$ sin embargo se quedan sin raíz cuadrada incluso si lo hacen arbitrariamente grande, ampliando con ceros. En general, el criterio para nilpotent las matrices es que entre cualquier par de ausente tamaño de bloque de valores, el número de bloques con tamaños intermedios debe ser incluso de una raíz cuadrada de existir. Por ejemplo, los tamaños de las $7,6,4,4,4,3,3,1,1,1$ ninguna raíz cuadrada existe, porque entre la ausencia de los tamaños de las $5$ $2$ hay cinco bloques, de los tamaños de las $4$ o $3$.
Fbo
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La descomposición de Cholesky está ligeramente relacionada con el concepto de tomar la raíz cuadrada de una matriz. Si$A$ es una matriz hermitiana definida positiva, entonces$$ A = B B^{*} $$, where $ B$ is lower triangular with positive diangonal elements where $ B ^ * $ es la transposición conjugada de B.
