¿En qué ángulo se cortan estas curvas?

Question

Estoy trabajando en un ejercicio que pregunta esto: ¿En qué ángulo las curvas $$y = 3.5x^2 + 2$$ y $$y = x^2 - 5x + 9.5$$ ¿se cortan unos a otros? He puesto estas ecuaciones iguales entre sí para encontrar dos valores para x. A saber, $x = 1$ y $x = -3$ como intersecciones. ¿Cómo debo proceder? Casi todo el mundo aquí es siempre de gran ayuda, así que no puedo agradecer a todos lo suficiente de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

El primer paso consiste en encontrar los puntos de intersección, o al menos sus $x$ -coordenadas. Ya lo has hecho.

Trataremos los dos puntos de intersección por separado. Mostramos cómo trabajar con $x=1$ .

La derivada de $3.5x^2+2$ es $7x$ . Por lo tanto, la línea tangente en $x=1$ tiene pendiente $7$ .

Del mismo modo, la línea tangente a la otra curva en $x=1$ tiene pendiente $-3$ .

El ángulo en el que se encuentran las curvas es el ángulo entre sus líneas tangentes.

Ahora hay muchas formas de proceder. Podríamos usar la calculadora para encontrar por separado los ángulos que forman las dos rectas con el positivo $x$ -y utiliza los resultados para hallar el ángulo entre las dos rectas.

O que estos ángulos sean $\alpha$ y $\beta$ . Utilice la fórmula $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}.$$ Realmente queremos encontrar el valor absoluto de $\tan(\alpha-\beta)$ . Esto se calcula fácilmente, ya que se sabe que $\tan\alpha=7$ y $\tan\beta=-3$ .

La aritmética da $\tan(\alpha-\beta)=\frac{10}{-20}$ . Tomemos el valor absoluto. Obtenemos $\frac{1}{2}$ . Así que nuestro ángulo es el ángulo entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$ cuya tangente es $\frac{1}{2}$ .

Si estás cursando cálculo de varias variables, o álgebra lineal, conocerás otras formas de hallar el ángulo entre las dos rectas.

Repetir con $x=-3$ .

Answer 2

Piensa que las curvas están definidas por ecuaciones implícitas $f(x,y)=y - 3.5x^2 - 2=0$ y $g(x,y)=y - x^2 +5x - 9.5=0$ . Entonces el ángulo entre las curvas será el ángulo entre los vectores normales, que son gradientes de las dos funciones $f$ y $g$ .

Answer 3

Calcular los ángulos entre los vectores $$(1, f'(x_i)), (1, g'(x_i))$$ mediante la fórmula $$\cos(\phi) \cdot \Vert u \Vert_2 \Vert v \Vert_2 = \langle u,v \rangle_2$$ Denotando la norma euclidiana estándar y el producto interior en $\mathbb{R}^2$ .

Answer 4

Sabes que las curvas se cortan en $x=1$ y $x=-3$ . Veamos un caso general que puede resultarle útil. Consideremos dos funciones $f,g$ que se cruzan en un punto $x=\xi$ .

Consideremos ahora la línea tangente de $f$ en $x=\xi$ . ¿Qué ángulos hace con el $x$ ¿Eje? No debería ser noticia nueva que $\tan\theta=f'(\xi)$ . Del mismo modo, la línea tangente de $g$ en $x=\xi$ forma un ángulo $\eta$ con $\tan\eta =g'(\xi)$ . ¿En qué ángulo se cruzan estas líneas? ¿Estarías convencido de que debe ser $\rho=\theta-\eta$ ? Puedes hacer un dibujo, y por supuesto elegir $\theta$ para ser el ángulo mayor. Pero sabemos que $$\tan(\theta-\eta)=\frac{\tan\theta-\tan\eta}{1+\tan\theta\tan\eta}$$

Eso es, $$\tan(\rho)=\frac{f'(\xi)-g'(\xi)}{1+f'(\xi)g'(\xi)}$$

Hay que tener cuidado con los ángulos para no obtener resultados "desviados".