Si$f$ es una función periódica continua con periodo irracional y si$\sum_n\frac{|f(n)|}{n}<\infty$, entonces$f$ es igual a cero.

Question

Por favor, muestre que si$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función periódica continua con periodo irracional y si$\sum_n\frac{|f(n)|}{n}<\infty$, entonces$f$ es idénticamente cero.

(Por ejemplo, usando esto sabemos$\sum_{n\ge1}\frac{|\sin n|}{n}$ diverge.) El libro menciona el "criterio de equidistribución llamado"; No estoy seguro de si se está refiriendo a esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Equidistribution_theorem )

Answer 1

Sí, la referencia es correcta.

Suponga que$f$ es distinto de cero y$p$ su período. Entonces existe$\epsilon>0$ y$0<a<b<p$ con$|f(x)|>\epsilon$ para todo$x\in [a,b]$. Para$m$ suficientemente grande, la proporción de números$n\in \{m+1, m+2, \ldots, 2m\}$ tal que$n\bmod p\in [a,b]$ es aproximadamente $\frac{b-a}p$, por lo tanto$$ \sum_{n=m+1}^{2m}\frac{|f(n)|}{n}\gtrsim\frac{b-a}pm\cdot \frac\epsilon{2m}=\frac{(b-a)\epsilon}{2p}$ $ y por lo tanto la serie completa diverge. Para hacer esto preciso, uno debe ser más específico, lo que "aproximadamente" significa en lo anterior.

Answer 2

Si existe un punto$x_0$ tal que$|f(x_0)|$> 0 entonces existe $ \ epsilon$ such that if $ | x-x_0 | <\ epsilon$ then $ f (x)> f x_0) / 2$ by continuity. Now look at all translates of the interval $ [x_0- \ epsilon, x_0 \ epsilon]$ by the period $ \ alpha$ of the function. Now the equidistribution theorem guarantees these intervals cover an integer value at least once every $ \ alpha / \ epsilon = C$ translates. Taking these we get a sequence of integers $ n_0, n_1, ... f (n_i) | f (x_0) | / 2$ such that $ | f (n_k) | / n_k> | f (x_0) | / (% 2Ck) = C'k ^ {- 1}$ and $ C '$ veces serie armónica, vemos que debe divergir.