Módulo de número complejo menor que igual a 1

Question

$|z+1|\le 1 \text{ and } |z^2+1|\le 1$, Entonces tenemos$$ |z|\le 1.$ $ escribí$z=x+iy, x,y\in \mathbb{R}$ y las desigualdades de la hipótesis se convierten en \begin{equation} (x+1)^2+y^2\le 1 \text{ and } (x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2\le 1 \end {equation} ... y no veo cómo deducir de aquí$$x^2+y^2\le 1.$ $ Yo represento con Wolfram la región y obteined algo que no ayudó a mi intuición ... la primera desigualdad, la segunda

Answer 1

Aplicación de la desigualdad del triángulo:$$2|z| = |z^2+2z+1 - 1 - z^2|\le |z+1|^2 + |z^2+1| \le 2$ $