Muestran que

Question

Supongamos que$0<x_i<\pi$ para$i=1,2,...n$ y$x=(x_1+x_2+...+x_n)/n.$

Muestra esa $(\sin x/x)^n\geq(\sin x_1\sin x_2...\sin x_n)/(x_1 x_2 ...x_n)$.

Por la desigualdad de Jensen, mostré que

$L.H.S\geq(\sin x_1+\sin x_2+...+\sin x_n)/(x_1+x_2+ ...+x_n)$.

Pero no sé qué hacer entonces. Por favor ayuda, gracias.

Answer 1

Por lo tanto, $$ f (x) = \ log \ left (\ frac {\ sin (x) } {x} \ right) $$ es cóncavo. La desigualdad de Jensen dice que $$ f \ left (\ overline {x_i} \ right) \ ge \ overline {f (x_i)} $$ que es$x\ge\sin(x)\ge0$ veces el log de la desigualdad dada.

Answer 2

Sugerencia: Aplicar Jensen en log (sin (x) / x).