Comprobación de la ortogonalidad en el ejercicio de Kreyszig

Question

Sea$H$ el espacio del producto interior con el producto interior$\langle\cdot,\cdot\rangle$ y la norma$\lVert \cdot\rVert$. Dejar $x,y \in H$. ¿Me ayudaría a probar que$\langle x,y\rangle=0$ si y sólo si$\lVert x+\alpha y\rVert \geq\lVert x\rVert$ para todo scalar$\alpha$?

He demostrado que$\langle x,y\rangle=0$ implica$\lVert x+\alpha y\rVert\geq \lVert x\rVert$, pero no saben cómo probar lo contrario. Sólo intento mostrar que$\lVert x+\alpha y\rVert\geq \lVert x\rVert$ implica$\lVert x+\alpha y\rVert=\lVert x-\alpha y\rVert$ (pero aún no éxito) ya que este equivalente de igualdad con$\langle x,y\rangle=0$.

¿Hay alguna solución de este problema usando esta información: ∥x αy∥ = ∥x-αy∥ si y sólo si = 0? Gracias.

Answer 1

Tomando los cuadrados y expandiéndonos, obtenemos para todo el número real$\alpha>0$:$$\lVert x\rVert^2+\alpha\langle x,y\rangle+\alpha\overline{\langle x,y\rangle}+\alpha^2\lVert y\rVert^2\geq \lVert x\rVert^2,$ $ taking$$\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}+\alpha\lVert y\rVert^2\geq 0.$, obtenemos$\alpha\to 0$. Trabajando con$2\Re\langle x,y\rangle\geq 0$ y$-x$, obtenemos$-\alpha$. Para la parte imaginaria, trabaje con$2\Re\langle x,y\rangle\leq 0$ donde$e^{i\theta}\beta=:\alpha$ y$\beta\in \Bbb R$ tal que$\theta$ es un número real.

Answer 2

La implicación que menciona no es cierta: tome cualquier$x$,$\alpha=1$,$y=x$. Entonces $\|x+\alpha y\|=2\|x\|>\|x\|$. Pero $\|x-\alpha y\|=0\ne 2\|x\|=\|x+\alpha y\|$.

La desigualdad$\|x+\alpha y\|\geq\|x\|$ fuerza$\langle x,y\rangle =0$ cuando se mantiene para cada $\alpha$, y entonces la forma canónica para obtener el resultado es lo que Davide hizo en su solución. Pero no se puede sacar ninguna conclusión del hecho de que se cumple para un solo$\alpha$ concreto.