¿Pregunta sobre el uso de la regla de inferencia de la disyunción para obtener una implicación material?

Question

Estoy viendo la lógica matemática y tengo una pregunta.

Deje que $p$ ser una proposición. Supongamos que tengo $ \lnot p$ .

Por la regla de la disyunción, esto implica $ \lnot p \vee q$ donde $q$ es cualquier proposición.

Esto es equivalente (mirando las tablas de verdad) a $p \implies q$

¿Significa esto que sólo tenemos que probar $ \lnot p$ con el fin de probar $p \implies q\;$ ?

Answer 1

Esto es correcto. Una declaración falsa implica cualquier cosa. Sin embargo, en la práctica, no siempre probamos una implicación demostrando que la premisa nunca es verdadera; por lo tanto, esta técnica tiene un alcance limitado.

Answer 2

Como ya se ha dicho, sí, es verdad.

En el trabajo matemático, el efecto neto habitual de este hecho es que si queremos probar $p \longrightarrow q$ no necesitamos ni siquiera pensar en las situaciones en las que $p$ es falso, así que no lo hacemos.

Así que, por ejemplo, si queremos probar que cada dominio integral finito es un campo (crudamente, $p$ es entonces "es un dominio integral finito" y $q$ es "es campo") no hay razón para molestarse en examinar cosas que no son dominios integrales finitos.

Aunque "falso implica todo" está en el trasfondo de la forma en que usamos "implica", rara vez, si es que alguna vez, es invocado explícitamente por la mayoría de los matemáticos que trabajan.

Answer 3

Si la lógica involucrada viene como una lógica de dos valores, entonces sí. Sin embargo, si tenemos algún otro sistema de lógica involucrado, tal vez, tal vez no. Para ver lo que está pasando aquí, consideremos cómo a partir de Np (la negación de p) podemos legítimamente inferir Cpq (eso es (p->q) en notación polaca). Ahora bien, "a partir de Np, podemos inferir Cpq", aunque podría utilizarse como tal, no suele tomarse como una regla básica de inferencia para la lógica proposicional de dos valores. En su lugar, CNpCpq existe como un teorema de la lógica clásica de dos valores. Por consiguiente, si se demuestra "Np", entonces por aplicación del modus ponendo ponens (la regla de desprendimiento, eliminación condicional), podemos obtener "Cpq". Así, podemos simplemente obtener una prueba para Cpq también añadiendo un "Cpq" al final de la prueba de "Np". Así que, básicamente si un sistema de lógica tiene la regla de modus ponendo ponens, tiene CNpCpq como teorema lógico, entonces para probar Cpq, sólo hay que probar Np.

Answer 4

Como dicen las respuestas anteriores $ \lnot p$ implica $p \to q$ (Sin embargo, lo contrario no es cierto).

Sólo proporcionaré alguna motivación para tal elección de valores de verdad para la implicación material. Consideremos por ejemplo la afirmación "para cada número natural $x$ si $x$ es igualmente divisible por 4, entonces es igualmente divisible por 2." Obviamente quieres que esta afirmación sea cierta. Ahora, si tomas $x = 2$ entonces tendrás $false \to true$ y si tomas $x = 5$ tendrás $false \to false$ . Así que un $false$ La declaración implica todo.