¿Por qué los vectores de onda separados por un vector reticular recíproco representan la misma onda?

Question

En mi curso, que el modelo de un sistema de osciladores armónicos. Entonces encontramos que la relación de dispersión ($K$ es la rigidez de los resortes, $k$ el número de onda):

$$ \omega = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} \left \lvert \sin \left( \frac{ka}{2} \right) \right \rvert \, .$$

Entendemos que $\omega$ es periódica en $[-\pi/a,\pi/a]$. Estoy de acuerdo con todo esto.

Entonces está escrito en el supuesto de que como $\omega(k)$ $\omega(k + 2 \pi / a)$ tiene el mismo valor, entonces los dos wavevectors representar a $k$ $k+2\pi/a$ son de la misma onda. No entiendo esto. Para mí, la periodicidad en $\omega$ solo se muestra... una periodicidad en $\omega$, no se que $k$ $k+ 2 \pi/a$ son los vectores de onda que representa la misma onda.

¿Por qué $k$ $k+2\pi/a$ representan la misma onda?

No quiero algunos argumentos adicionales para explicar esto, sólo quiero entender la argumentación exacta del curso.

Answer 1

Te olvidas de que estamos trabajando con un cristal, que es un conjunto discreto de puntos, y no con un continuo.

Mira la siguiente imagen, tomada de C. Kittel la Introducción a la Física del Estado Sólido:

Dos ondas están representados, uno con vector de onda $k$ y otro con vector de onda $k'=k+2 \pi /a$; las longitudes de onda que son, respectivamente, $\lambda = 2 \pi / k$ y

$$\lambda' = \frac{2 \pi}{k + 2 \pi /a} < \lambda$$

Pero usted puede ver que los desplazamientos de los átomos son exactamente los mismos para las dos ondas: tan lejos como el cristal es de que se trate, que son de la misma onda, y tienen la misma energía.

Como DanielSank señala correctamente, este fenómeno es conocido en la señal de precesión como aliasing.