¿Existen dos espacios tales que no haya una función continua y no constante entre ellos?

Question

¿Existen dos espacios topológicos $(X,\tau_X)$$(Y,\tau_Y)$, cada una con más de un punto, por lo que no continua no constantes de la función $f:X\to Y$ existe?

Edit: Como Krish comentado, un ejemplo de esto sería tomar $X$ conectado y $Y$ discreto, con más de un punto, por lo que ahora propongo la pregunta:

¿Existen dos espacios topológicos $(X,\tau_X)$$(Y,\tau_Y)$, cada una con más de un punto, por lo que no continua no constantes de la función $f:X\to Y$ o $f:Y\to X$ existe?

Edit 2: he añadido el supuesto de que $X$ $Y$ tiene al menos dos puntos.

Answer 1

He aquí una cuidada ejemplo. Tome $X=[0,1]$ con la topología usual y deje $Y$ ser un countably conjunto infinito con el cofinite topología. Entonces cualquier mapa continuo $Y\to X$ es constante, ya que $X$ es Hausdorff, pero no hay disjuntos no vacíos abierto pone en $Y$. Por otro lado, no hay un no constante continua mapas de $X\to Y$ (esto es difícil de probar; por ejemplo, véase esta cuestión en MO).

Answer 2

Ejemplos similares a los de Eric existen incluso si insistes en los espacios de Hausdorff. Tome$X=[0,1]$ (con la topología estándar) y$Y$ que es contablemente infinito, Hausdorff y conectado (por ejemplo, la topología de la pendiente irracional). Entonces cada mapa continuo$X\to Y$ y$Y\to X$ es constante.