Cuando se realiza una prueba por inducción matemática, me preguntaba si hay alguna razón lógica por la cual la asunción (n=k) y la inducción (n=k+1) pasos no se podía hacer, en primer lugar, a continuación, hacer la base de casos (n=1) después, en lugar de la forma tradicional de hacer esta base de caso de la primera? Le estoy enseñando a mis alumnos y creo que tendría más sentido para ellos, para en primer lugar demostrar que P(k+1) es verdadera si P(k) es verdadera, y, a continuación, mostrar que P(1) es verdadera, entonces P(2) debe ser verdadera, P(3) es verdadera, etc. y P(n) es verdadera para todo n. De todos modos, no veo que haya fallas en la lógica? Por favor avise.
Respuestas
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dxiv
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Formalmente, no hay ningún requisito para demostrar que P(1) en primer lugar. Prácticamente, sin embargo, la verificación de P(1) primero se puede ahorrar un montón de agravación en los casos donde el paso inductivo funciona, pero la base del paso resulta no ser cierto. Intenta demostrar que $2n+1$ es incluso para $\forall n \in \mathbb{N}$ por inducción, por ejemplo: el paso inductivo ciertamente funciona, pero la proposición es falso, ya que en el caso base $2 \cdot 1 + 1$ resulta ser extraño y te das cuenta de que al final si se va a revisar P(1) último.
(Y luego están esos raros casos como el de Todos los caballos son del mismo color , donde la falacia entra de lleno en entre la base del paso y de la adecuada inducción de paso).
Eric Towers
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8212
No hay valor pedagógico en mostrar una prueba por inducción siguiendo en paralelo a la definición de la prueba por inducción. La definición tiende a ser algo así como "Si $P(1)$ y si para todos $k$, $P(k) \implies P(k+1)$, a continuación, para todos $k$, $P(k)$." Siguiendo este patrón ayuda a los estudiantes a ver que en realidad son la aplicación de la definición.
Una vez que se ha hecho con el aprendizaje de cómo hacer inducción, uno es la escritura de las inducciones en servicio de la comunicación de un resultado a un lector.
Una buena manera de organizar un multi-componente de la prueba es la Notación, la Trivialidad, el Trabajo. La razón por la que usted maneja en la trivialidad primero es que estas son cosas que el lector debe estar buscando, pero que son eliminados de forma rápida. Es más rápido reduce el lector de la carga cognitiva, ya que sólo tiene que recordar que ellos están buscando para una pequeña lista de los resultados para completar la prueba. En consecuencia, si su base de caso es más fácil, poner en primer lugar. Si el paso inductivo es más fácil, poner en primer lugar. Cualquier orden es lógicamente adecuada.
DuckStalker
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1
Una manera de hacer que la lógica más simple de entender y escribir es escribir las cosas en su orden de dependencia.
Hechos probados acerca de P(1) puede ser utilizado más adelante en la prueba de P(k)->P(k+1) fácilmente.
Hechos probados acerca de P(k)->P(k+1) que se utiliza para demostrar que P(1) sería más sospechoso, porque los hechos se basan en la suposición de que P(0) es verdadera cuando el razonamiento acerca de P(1).
Por poner el caso base primera, el argumento con el menor número de supuestos, se hace más fácil "cherry picking" las cosas se demostró al probar el caso base "a ciegas".
A continuación, siga con un caso con más supuestos-que P(k) es verdadera para algún k -- y proceder a demostrar que P(k+1).
Ninguno de estos cuestión en un sentido formal, porque las cosas demostrado durante P(k)->P(k+1) que se basan en P(k) tal requisito, independientemente de si está escrito en primer lugar. Pero la idea de que inicie una prueba lógica y puede "robar" resultados se demostró anteriormente para su uso posterior en la prueba cognitiva de acceso directo (que no siempre).
dmay
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415
No sólo no es necesario, desde el punto de vista lógico, por qué el caso base debe ser probado primero como además el primer texto ocuparse de inducción matemática — ben Levi de Gershon Maaseh Hoshev (El arte del cálculo), escrito en 1321, trató con él haciendo primero el paso inductivo y sólo después del caso base.
joshuaheckroodt
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Por supuesto, esto es posible, no hay ninguna razón para hacer la base del primer paso, sin embargo, es cierto que la idea fundamental de la prueba por inducción matemática es que
Deje $A$ ser un conjunto tal que $A\subseteq\mathbb N$, entonces vamos a
$$1\in A$$ $$k\in A$$ $$k+1\in A$$
Por lo tanto, se puede inferir que la $A=\mathbb N$, ya que el $k$ puede ser arbitrariamente un valor grande, y será un elemento de el conjunto de todos los números naturales.
Significado naturalmente, cualquier teorema que puede ser probada por medio de la inducción matemática es demostrado por $1$ primero, y luego para $k+1$. Además, a menudo es más fácil demostrar la deseada teorema de $1$ que es para probar el deseado teorema de $k+1$, pero por supuesto, esto depende de las preferencias.
En última instancia, no está escrito que la prueba por inducción ha de comenzar con la base de el paso, pero tenga en cuenta que si el teorema puede ser probado para el paso inductivo, pero no para la base, paso luego el teorema es refutada.
