Encontrar una secuencia $\{\epsilon_n\}_{n\ge 1}$ tal que $\epsilon_n\to 1$ $n\to \infty $ y $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{\epsilon_n}} <\infty$

Question

Estoy tratando de encontrar una secuencia $\{\varepsilon_n\}_{n\ge 1}$ o demostrar que no existe tal secuencia, tal que

$$\varepsilon_n\to 1~~~as~~n\to \infty $ $ y $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\varepsilon_n}} <\infty.$ $

En caso de que existe tal secuencia $\{\varepsilon_n\}_{n\ge 1}$ quisiera tener un ejemplo explícito. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sí, usted puede encontrar tal $\epsilon_n$. En primer lugar, la serie siguiente es \sum_{n\geq convergente $$ 2} \frac{1}{n (\ln n) ^ {1 + s}} $$ para cualquier $s>0$. Elegimos $s=1$ y $\epsilon_n$ tal que $2n(\ln n)^2>n^{\epsilon_n}>n(\ln n)^2$ para cualquier $n\geq 2$. Encontramos que el $\epsilon_n\to 1$ $n\to \infty$.

Answer 2

Desde $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\log^2 n} $ converge, si elegimos $n ^ {\varepsilon_n} = n\log ^ 2 n $ o $n ^ {(\varepsilon_n-1) / 2} = \log n $ o $(\varepsilon_n-1)/2 =(\log \log n)/\log n $ o $\varepsilon_n = 1 + (2\log \log n) / \log n $ la serie resultante se reunirán y \lim_{n \to \infty $} \varepsilon_n = 1 $.

Del mismo modo, si $\varepsilon_n = 1 + (\log \log n) / \log n $, la serie resultante se divergen.

Answer 3

Pensamientos, pero definitivamente no es una respuesta:

Un estándar de prueba de que $\sum \frac{1}{n}$ diverge es agrupar las cosas en grupos que son del tamaño de un poder de $2$. (1) + (1/2 + 1/3) + (1/4 + ... + 1/8) + ... y luego argumentar que cada elemento de una lista es al menos tan grande como el anterior, y por lo tanto cada lista tiene una suma que al menos es $1/2$.

Una especie de "doble" de que es decir que cada elemento no es \emph{más} que la primera, y por lo tanto cada grupo no es más que $2^k$ veces el primer elemento (donde el grupo tiene el tamaño de $2^k$). Si sólo los números ($2^k$ veces el primer elemento) se comporta bien, esto llevaría a un SUPERIOR de la suma de la serie y que podría mostrar que estaba delimitada. No es, por supuesto, pero hay la mitad de una idea.

Suponga que los números de $\epsilon_n$ se acercó a $1$ desde arriba lo suficientemente despacio como para que cada grupo (en algunos grupos como el de arriba) había una suma que fue manejable. Entonces usted puede probar realmente acotamiento. Una cosa es darse cuenta de que la disminución de sus exponentes tiene que ser más o menos de forma exponencial lento.