$n$ -derivada de $y$ en $x^y=e^{x-y}$

Question

Pregunta:

Si $x^y=e^{x-y}$ encontrar una fórmula general para $\displaystyle\frac{d^ny}{dx^n}$ .

Mi intento:

$$x^y=e^{x-y}$$ $$\Rightarrow\ \ \ \ \ y\ln x=x-y$$ $$\Rightarrow\ \ \ \ \ y=\frac{x}{\ln x+1}$$ Así que $$\begin{align}\frac{dy}{dx}&=\frac{\ln x+1-1}{(\ln x+1)^2}\\ &=\frac{\ln x}{(\ln x+1)^2} \end{align}$$ Entonces $$\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{\frac{1}{x}(\ln x+1)^2+\frac{2\ln x}{x}(\ln x+1)}{(\ln x+1)^4} \end{align}$$ Ahora, puedo ver que el denominador satisface un patrón sencillo $(\ln x+1)^{2^n}$ . Por lo tanto, la fórmula general para $\displaystyle\frac{d^ny}{dx^n}$ es $$\frac{d^ny}{dx^n}=\frac{g(n)}{(\ln x+1)^{2^n}}$$ Pero no puedo derivar ninguna fórmula para el numerador $g(n)$ ni puedo ver ningún patrón regular en la estructura. ¿Debo diferenciar la expresión inicial $x^y=e^{x-y}$ ¿Implicidad? ¿Puede alguien ayudarme en eso?

Answer 1

Esta es una fórmula de la $n$ -derivada de $\frac{f}{g}$ en términos de derivados de $f$ y $g$ que podría ser útil.

Dejemos que $D_x$ representan la diferenciación con respecto a $x$ . Por lo tanto, $D^n_x f(x)$ es el $n$ -derivada de $f$ con respecto a $x$ . Lo siguiente es válido para $n$ funciones diferenciables en el tiempo $f$ y $g$ \begin{align*} D_x^n\left(\frac{f}{g}\right)=\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^{k} (-1)^j\binom{n}{k}\binom{k+1}{j+1}\frac{1}{g^{j+1}} D_x^{n-k}\left(f\right) D_x^{k}\left( g^j\right)\tag{1} \end{align*}

Esta fórmula se basa en la Forma Hoppe de la regla de la cadena generalizada y una prueba para ello se da en este post de MSE .

En la situación actual tenemos $f(x)=x$ y $g(x)=\ln(x)+1$ y obtenemos de (1) si cambiamos el orden de la suma exterior sustituyendo $k$ con $n-k$ :

\begin{align*} \color{blue}{D_x^n\left(\frac{x}{\ln x+1}\right)} &=\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^j\binom{n}{k}\binom{n-k+1}{j+1} \frac{1}{(\ln x + 1)^{j+1}}D_x^k(x)D_x^{n-k}\left((\ln x + 1)^j\right)\\ &=\color{blue}{\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom{n+1}{j+1} \frac{x}{(\ln x+1)^{j+1}}D_x^{n}\left((\ln x+1)^j\right)}\\ &\qquad\color{blue}{+\sum_{j=0}^{n-1}(-1)^jn\binom{n+1}{j+1} \frac{1}{(\ln x+1)^{j+1}}D_x^{n-1}\left((\ln x+1)^j\right)}\\ \end{align*} Desde $D_x^k(x)=0$ si $k>1$ basta con considerar los dos primeros términos $k=0,1$ de la suma exterior.

Veamos un pequeño ejemplo para ver la fórmula en acción

Ejemplo: $D^1_x\left(\frac{x}{\ln x + 1}\right)$

\begin{align*} \color{blue}{D_x^1\left(\frac{x}{\ln x +1}\right)} &=\sum_{j=0}^1(-1)^j\binom{2}{j+1}\frac{x}{(\ln x+1)^{j+1}}D_x^1\left((\ln x+1)^j\right)\\ &\qquad +\sum_{j=0}^0(-1)^j\binom{1}{j+1}\frac{1}{(\ln x+1)^{j+1}}D_x^0\left((\ln x+1)^j\right)\\ &=(-1)^0\binom{2}{1}\frac{x}{\ln x+1}D_x(1)+(-1)^1\binom{2}{2}\frac{x}{(\ln x+1)^2}D_x(\ln x + 1)\\ &\qquad +(-1)^0\binom{1}{1}\frac{1}{\ln x+1}D_x^0(1)\\ &=0-\frac{x}{(\ln x+1)^2}\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{\ln x+1}\\ &\color{blue}{=\frac{\ln x}{(\ln x+1)^2}} \end{align*}

de acuerdo con el resultado de las OPs.

Answer 2

Parece que $$\frac{d^ny}{dx^n}=\frac{g_n(x) }{x^{n-1}(\log(x)+1)^{n+1}}$$ donde $g_n(x)$ es un polinomio en $\log(x)$ de grado $(n-1)$ .