Demostrar que $10101\ldots01$ puede ' t ser un cuadrado perfecto.

Question

Demostrar que $10101\ldots01$, donde la secuencia $"01"$ se repite $k$ veces no pueden ser un cuadrado perfecto para cualquier valor de $k$.

Todo lo he podido probar es que la fórmula general es $1+\frac {100}{99}(100^k-1)$ pero no sé cómo continuar.

Answer 1

Un cuadrado impar debe ser $\equiv 1 \bmod 8$ porque $(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4m(m+1)+1$ $m(m+1)$ siendo incluso. Cualquier número % representado en base $10$es un múltiplo de $1000=125×8$ además de sus tres últimos dígitos, así congruentes con lo tres últimos dígitos $\bmod 8$. Pero $101 \equiv 5 \bmod 8$, una contradicción.

Answer 2

Supongamos que el enunciado es verdadero.

Tenga en cuenta que cualquier extraño cuadrado entero se puede escribir como $8m+1$ donde $m$ es un entero positivo.(*)

Vamos, $\dfrac{100^k-1}{99}=8m+1$ donde $m$ es un entero positivo.

Ahora, $\dfrac{100^k-1}{99}=8m+1\Rightarrow 100^k=99(8m+1)+1=(99\times8)m+100 \\\Rightarrow (99\times8)m=100(100^{k-1}-1)\Rightarrow m=\dfrac{25}{2}\times\dfrac{100^{k-1}-1}{99}$

Tenga en cuenta que, para $k>1$, $\dfrac{100^{k-1}-1}{99}$ es un entero impar.

desde $k>1$, $m$ puede no ser un número entero. $\Rightarrow \Leftarrow$

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( * ) ¿Por qué un extraño cuadrado entero puede escribirse de la forma $8m+1$?

$\Longrightarrow$ Tenga en cuenta que $(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1=8m+1$, ya que el $\dfrac{n(n+1)}{2}$ es un entero positivo.(tenga en cuenta que $n$ $n+1$ son números enteros consecutivos)

Answer 3

Tal vez ayudarle: $$101010101...01=\\\overline{0101010101...01}=\\\overline{01}+100\times\overline{01}+100^2\times \overline{01}+100^3\times \overline{01}+...+100^m\times \overline{01}=\\\overline{01} (1 + 100 + 100 ^ 2 + 100 ^ 3 +... + 100 ^ m) = \\ \ Sobrerraya {01} (\frac {100 ^ {m + 1} -1} {99}) = \\(\frac{100^{m+1}-1}{99}) = k ^ 2 \\100^{m+1}-1=99k^2\\100^{m+1}=99k^2+1=\\100k^2+1-k^2=\\(10k)^2+(1-k^2) \to\\1-k^2=0 \to k = 1 \text {k = 1 esto no es cierto} $$

Answer 4

Esto puede ser demostrado por las conclusiones de los siguientes 2 puntos:$$$$ 1. Supongamos que tomamos k = 1, En este caso, 101 es de 1 a más de 100 (el más cercano cuadrado perfecto). $$$$ del mismo modo, para cualquier valor de k, el más cercano cuadrado perfecto es 1 menos que el número. ex. para k=2, 10101 más cercana plaza -> 10000( $100^2$ ),para k=3, 1010101 -> 1,000,000( $ 1000^2$ ) $$$$ 2. Ahora Observa el siguiente patrón de $$$$ $2^2$ - $1^2$ = 4-1 = 3 $$$$ $3^2$ - $2^2$ = 9-4 =5 $$$$ . $$$$ . $$$$ $(x+1)^2$ - $x^2$ = $x^2$ + 2x +1 - $x^2$ = 2x+1 $$$$ Claramente la diferencia entre los cuadrados de dos consecutivos NO PUEDE SER 1 para cualquier valor de k. Ex. para k =1 el más cercano a plazas son 100 y 121, y la diferencia es de 21 años. para k=2 se trata de 10000 y 10201 y la diferencia es 201 y así sucesivamente .

Para cualquier para cualquier valor de k 10101010....01 no puede ser un cuadrado perfecto.