Considerar la secuencia de
$$f_1=x^2+1$$
$$f_{n+1}=(f_n)^2+1$$
de polinomios sobre los enteros.
¿Es irreducible de $f_n$ $\mathbb Q[x]$ % todo $n\ge 1$?
PARI/GP, me enteré de hasta que grado $4\ 096$, todos los polinomios son irreducibles $\mathbb Q[x]$. Obviamente, los polinomios no tienen raíces reales y son todos uniformes. ¿Alguna idea?
Esto es cierto.
De Ayad, McQuillan, la Irreductibilidad de la recorre de un polinomio cuadrático sobre un campo (aquí), un polinomio se dice para ser estables a lo largo de $K$ si todos sus itera son irreducibles sobre $K$.
Deje $f(X)=X^2-lX+m$ $d=l^2-4m$ su discriminante.
Teorema 3: Si $d=0 \pmod 4$$d\neq0 \pmod{16}$, $f$ es estable en el $\mathbb Q$.
En nuestro caso, $l=0$, $m=1$, por lo tanto $d=-4$ y el teorema se aplica.
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