Una cosa que he notado en las matemáticas (y, hasta cierto punto, en las ciencias*) es que te entrenan para confiar en un gran número de enlaces deductivos por encima de un pequeño número de enlaces intuitivos. En su Gödel, Escher, Bach Doug Hofstadter da una prueba de la conmutatividad de la adición, partiendo de algunos postulados básicos (no de Peano, pero algo parecido a Peano, si no recuerdo mal). Ocupa algo así como cincuenta y seis líneas separadas, casi cada una de las cuales se apoya de alguna manera en las anteriores.
Eso no es algo que convenza a la mayoría de la gente. Supongo que la mayoría de las personas, en la medida en que han pensado en la adición, nunca han pensado en que no se desplaza, y si lo hubieran hecho, tratarían el hecho de que realmente se desplaza como algo tan obvio que desafía la prueba. Pero además, considerarían que cincuenta y seis pasos son demasiado largos para ser convincentes.
Las matemáticas nos entrenan para considerar que cincuenta y seis pasos no son menos rigurosos que seis, aunque podamos retener todos los segundos en nuestra cabeza, pero no los primeros. Parte de la razón es que los cincuenta y seis pasos tienen una estructura global, con quizá seis "párrafos" que tienen cada uno su propia "intención". Es en ese nivel donde se representa la intuición de la suma conmutativa, aunque el rigor se represente en un nivel inferior, línea por línea.
Otro aspecto de las matemáticas que no se le ocurre a mucha gente es el grado de unificación de conceptos. Esto también es algo que comparte en cierta medida con las ciencias. Ya sea algo tan trivial como la unificación de la combinatoria y la probabilidad, o tan profundo como el vínculo entre el último teorema de Fermat y las formas modulares, existe una interconexión entre las cosas que es fundamental para hacer matemáticas. En mi opinión, la matemática logra esa interconexión más a menudo que cualquier otro campo. Es la sustancia de las analogías -¿cuáles son las conexiones, por ejemplo, entre la colonización de China y la de las colonias de Estados Unidos?- hecha exacta, hecha (de nuevo) rigurosa.
Por último, recuerdo haber leído uno de los ensayos de Isaac Asimov en el Revista de Fantasía y Ciencia Ficción en el que describe su concepción de la ciencia y las matemáticas: como un fractal, de modo que no importa lo cerca, lo fino que lo mires, ves tanta complejidad en el nivel fino como la que viste en el nivel grueso. Esto es algo que se puede apreciar, creo, sólo después de hacer muchas y muchas matemáticas. El hecho de que, tras miles de años de actividad humana en las matemáticas, no hayamos estado cerca de agotar el campo -que, de hecho, tenemos mucho más que hacer que en cualquier otro momento de la historia- es algo que, cuando lo pienso detenidamente, parece casi milagroso. ¿Por qué algo tan puro, tan fundamental, debería ser al mismo tiempo tan rico? Es algo para lo que no tengo nada parecido a una buena respuesta, pero lo aprecio.
*Se ha señalado, en los comentarios, que esto no es algo compartido sólo por las matemáticas y las ciencias duras. Mi atribución se basaba sólo en mi limitada experiencia con cosas fuera de ese ámbito. No debería haber dado a entender la exclusión de otros campos.
