Sólo algunas ideas, muy largo para los comentarios.
Resumen: No existe la plaza existe si $b$ o $k$ es incluso.
Esto puede ser escrito como $(b^k)^2-(b^2-1)y^2=1$.
El conjunto de enteros positivos soluciones a la ecuación de Pell $x^2-(b^2-1)y^2=1$ son exactamente los valores:
$$x+y\sqrt{b^2-1}=\left(b+\sqrt{b^2-1}\right)^n; n\in\mathbb Z^{+}$$
Así que usted necesita mostrar que $x$ es una potencia de $b$ sólo al $n=1$.
Hay una recurrencia: $x_0=1,x_1=b, x_{n+1}=2bx_n-x_{n-1}$.
Esto le da a $x_2=2b^2-1, x_3=4b^3-3b=b(4b^2-3)$. No es $b$ (distinta de $1$) lo que hace que $x_3$ un poder de $b$.
Podemos mostrar que $x_{2n}\equiv (-1)^n\pmod {b^2}$$x_{2n+1}\equiv (-1)^{n}b(2n+1)\pmod{b^3}$.
Por lo $x_{2n}$ no es nunca un poder de $b$, y si $x_{2n+1}$ es no trivial de la potencia de $b$, $2n+1$ es divisible por $b^2$.
En particular, usted no puede tener $b$ incluso.
Usted puede probar inductivamente que $x_k>b^{k}$$k>1$, por lo que el número de dígitos de la base de $b$ debe ser de al menos $b$.
También conseguimos que $x_{m}\equiv (-1)^m\pmod{b+1}$. Entonces si $x_{2n+1}=b^k$ $$b^{k}+1\equiv 0\pmod{b+1}$$ and thus $k$ debe ser impar.
Ahora, de $y^2=1+b^2+b^4+\cdots +b^{2(k-1)}$ se puede conseguir que la $y^2\equiv k\pmod{b^2-1}$. Desde $b$ es impar, ha $8\mid b^2-1$ y desde $k$ es impar, debemos tener la $k\equiv 1\pmod{8}$.
Aparte: en Realidad, $x_n=T_n(b)$ donde $T_n$ son los polinomios de Chebyshev de la primera clase. Esto puede ser de ayuda, no estoy seguro. Así que estamos buscando a $b,m,k$, de modo que $T_m(b)=b^k.$
Sabemos que $b,m$ debe ser impar, $b^2\mid m$, e $k$ debe ser impar y un cuadrado modulo $b^2-1$.
También tenemos $b^{m}<T_m(b)<2^mb^m$$m<k<m(1+\log_b 2)$.
Por ejemplo, esto significa que los más pequeños de $k$ a de verificación para$b=3$$k=33,41,49,57.\dots$.
Para $b=5$ el más pequeño de los candidatos para$k$: $k=33,81,97,105,\dots.$
Para $b=7$, el más pequeño de los candidatos se $k=57,153,169,177,\dots$.
Si $f(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{k-1}$ donde $k$ es impar, entonces:
$$f(x)(1-x)+f(-x)(1+x)=2$$
También, $f(x)f(-x)=\frac{x^{2k}-1}{x^2-1}$, y, de nuevo debido a que $k$ es impar, $f(b)$ es extraño para cualquier $b$.
Esto significa que $f(b)$ $f(-b)$ deben ser cuadrados.
Eso significa que usted necesita $(111\dots1)_b$ un cuadrado y $((b-1)0(b-1)0\dots (b-1)01)_b$ a ser cuadrados perfectos.
