Demostrando que $\sin(54°)\sin(66°) = \sin(48°)\sin(96°)$

Question

Estoy tratando de probar que $\sin(54°)\sin(66°) = \sin(48°)\sin(96°)$ pero realmente no tienen una manera de abordarlo. La mayor parte de lo que intenté fue reemplazar $\sin(2x)$ $2\sin(x)\cos(x)$ o cambio de senos cosenos pero nada de eso realmente ha simplificado.

Agradecería cualquier solución.

Answer 1

El LHS es $$ \sin(54)\sin(66)=\cos(36)\cos(24). $$ El lado derecho es $$ \begin{align} \sin(48)\sin(96)&=2\sin(24)\cos(24)\sin(96)=\cos(24)\big(\cos(72)-\cos(120)\big)=\\ &=\cos(24)\left(\cos(72)+\frac12\right). \end{align} $$ Por lo tanto, lo que demuestra que LHS=RHS es equivalente a probar que $$ \color{red}{\cos(36)-\cos(72)=\frac12}. $$ El coseno de valores en el último identidad están relacionados con la sección áurea a través de la pentágono regularcomo $$ \begin{align} \cos(36)&=\frac{\sqrt{5}+1}{4},\\ \cos(72)&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}, \end{align} $$ lo que hace que el rojo identidad verdadera.

P. S. Véase también esta pregunta.

Answer 2

Usando grados como unidad de medida, $$ \sin(60+6)\sin(60-6) = \frac{1}{2}\left(\cos(12)-\cos(10\cdot 12)\right)$ $ %#% $ #% por lo tanto, el problema se reduce abajo demostrando que $$ \sin(4\cdot 12)\sin(8\cdot 12) = \frac{1}{2}\left(\cos(4\cdot 12)-\cos(12\cdot 12)\right)$ $ o, volviendo a radianes, demostrando que el $$\cos(12)-\cos(48)+\cos(144)=-\frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio $$ 1 + 2\, T_1 (x)-2\, T_4 (x) + 2\, T_ {12} (x) \\=\color {rojo} {1 + 2 x - 128 x ^ 2 + 1664 x ^ 4-7168 x ^ 6 + 13824 x ^ 8-12288 x ^ {10} + 4096 x ^ {12}}. $$ Ya que es el polinomio mínimo de $x=\cos\left(\frac{2\pi}{30}\right)$ $\cos\left(\frac{2\pi}{30}\right)$, es suficiente para comprobar que el polinomio de azul es un divisor del polinomio rojo.

Answer 3

$\sin54^\circ=\cos36^\circ$ Y $$\sin48^\circ=2\cos24^\circ\sin24^\circ$ $

la propuesta reduce a $$\cos36^\circ=2\sin24^\circ\sin96^\circ=\cos(96-24)^\circ-\cos(96+24)^\circ=\cos72^\circ-\left(-\dfrac12\right)$ $

Ahora uso ¿Cómo probamos $\cos(\pi/5) - \cos(2\pi/5) = 0.5$?.