Inverso del teorema del valor medio

Question

Me pregunto si es válida la siguiente inversión (o modificación) del teorema del valor medio. Supongamos que $f(\cdot)$ es continuamente diferenciable en $[a,b]$ . Entonces, para todos los $c \in (a,b)$ existe $x$ y $y$ tal que $$ f'(c)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x} $$

Answer 1

No es cierto. Dejemos que $f(t)=t^3$ . Entonces $f'(0)=0$ pero $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ nunca es $0$ .

Answer 2

Supongamos que $f''(c)\ne0$ . Entonces uno puede encontrar $x_1<c<x_2$ tal que $$f'(c)={f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1}\ .$$ Prueba. Supongamos que $f''(c)>0$ y considerar la función auxiliar $$g(t):=f(c+t)-f(c)-t f'(c)\ ,\tag{1}$$ que se define en una vecindad completa de $t=0$ . Por el teorema de Taylor se tiene $$g(t)=g(0)+t g'(0)+{t^2\over2}g''(0)+o(t^2)={t^2\over2}\bigl(f''(c)+o(1)\bigr)\qquad(t\to0)\ .$$ De ello se desprende que existe una $h>0$ con $g(t)>0$ para $0<|t|\leq h$ . Suponiendo que $g(h)\geq g(-h)$ poner $t_1:=-h$ y elija $t_2\in\ ]0,h]$ tal que $g(t_2)=g(t_1)$ , lo que es posible por el teorema del valor intermedio.

Finalmente pon $x_i:=c+t_i$ $(i=1,\>2)$ . Entonces se deduce de $(1)$ que $$f(x_2)-f(x_1)=g(t_2)-g(t_1)+(t_2-t_1)f'(c)=(x_2-x_1) f'(c)\ ,$$ que es equivalente a la reclamación.