¿Cómo puedo resolver mejor las demostraciones que requieren la introducción de suposiciones algebraicas?

Question

Hoy decidí empaparme de matemáticas discretas después de tres años de pausa. Abordé tres demostraciones, y todas requirieron la introducción de suposiciones que parecían no estar presentes en los datos dados, así como cafeína.

De esas tres demostraciones, obtuve dos incorrectas después de reflexionar durante 30 minutos a una hora. Al mirarlas, me hacen preguntarme "¿cómo demonios hubiera sabido hacer eso?"

A continuación se muestra un ejemplo de lo que quiero decir:

Probar $ a - b \; | \; a^n - b^n $.

Ir al paso de inducción:

$$a^{k + 1} - b^{k + 1} = a^{k + 1} - ab^k + ab^k - b^{k + 1}$$

$$ a (a^k - b^k) - b^k (a - b) $$

Lo cual implica que

$$(a - b) \; | \; a^{k + 1} - b^{k + 1} \implies \text{Verdadero}.$$

Debido al resultado en forma $a \; | \; b + c$ siendo cierto si $a \; | \; b$ y $a \; | \; c$.

Básicamente, la suposición añadida me permite usar tanto el caso cero como el caso base para demostrar la veracidad del enunciado, de una manera bastante elegante. Estuve jugando con la serie de potencias, lo cual habría resultado en una demostración más débil si hubiera estado allí, y cuando esta solución más simple estuvo allí todo el tiempo.

La otra demostración involucró desigualdades entre un polinomio y $2^n$, lo cual parece requerir suposiciones adicionales para la mayoría de las demostraciones en esa clase. Para usar el dato dado $9 < k$ para la demostración de $n^3 < 2^n$, fue necesario introducir $k^3 + 9k^3$ para demostrar que $2k^3 < 2 \cdot 2^k \implies 2^{k+1}$. Una vez más, aunque pude entender la razón para este paso a posteriori (de alguna manera me sorprendió), no estoy seguro de cómo podría haber llegado a esa idea.

Aunque no he consolidado eficazmente mi conocimiento en desigualdades ni en divisibilidad. Sin embargo, parece que en ambos casos necesitaba comprender qué tipo de "movimientos" algebraicos preservan la verdad al introducir nueva información a la demostración, permitiéndole avanzar; casi como almuerzos lógicos gratuitos. Pero eso parece requerir una comprensión del álgebra más profundamente desarrollada de la que tengo ahora, y la que me han dado otros libros de texto.

¿Hay alguna forma de mejorar mi capacidad para introducir el tipo correcto de número expresado algebraicamente, mientras se preserva la verdad y la igualdad, para avanzar en las demostraciones?

¿Hay libros de álgebra que traten el álgebra de una manera más sofisticada para mejorar esta intuición?

Answer 1

Un método que a veces me ayuda en situaciones similares.
Por favor, lea esto con cuidado, porque es muy similar pero significativamente diferente a un error común en las demostraciones.

1. Suponer lo que estás intentando probar.
2. Simplifícalo hasta llegar a una afirmación trivial o fácil de demostrar, a menudo usando álgebra.
3. Luego copia los pasos en orden inverso, comenzando con la afirmación trivial y trabajando hacia atrás a lo que originalmente necesitábamos probar.

Nota: Los pasos 1 y 2 son solo ayudas para que podamos descifrar cómo crear la demostración, pero solo el paso 3 pertenece como la respuesta final. El paso 2 a menudo muestra qué afirmación mágica como $2k^3<2⋅2^k$ será útil.

Ampliando la respuesta de potato, $(a-b) | (a^k-b^k)$, la división larga de polinomios es un método de demostración más natural y directo.

Como puedes ver, algunas demostraciones se enseñan de manera difícil, sacando afirmaciones de la nada, etc. Pero afortunadamente, a veces se aplican métodos de demostración mucho más naturales.

Agregar formas mágicas de cero, como $−ab^k+ab^k$ o multiplicar por formas mágicas de 1 son otro truco común. Revisa cómo racionalizar el denominador para fracciones como los ejercicios 7 al 10 de http://www.regentsprep.org/Regents/math/algtrig/ATO3/ratdenprac.html

Para demostraciones, sobre un conjunto de afirmaciones, especialmente números enteros, n, la inducción natural es común. Hasta que estés seguro aplicando la inducción, considera escribir el caso base, el paso inductivo; $$P_k -> P_{k+1}$$ y especifica ambos lados del paso inductivo. Ese es el $P_k$ específico que se nos permite asumir y el $P_{k+1}$ específico que debemos probar.