Grupos simples y GACION clases

Question

Simple grupos puede ser caracterizado por la siguiente propiedad:

Un grupo de $G$ es simple si y sólo si para cualquier $1\neq x\in G$, la clase conjugacy de $x$ $G$ genera el grupo total $G$.

La pregunta que me interesa es natural, relacionada con lo anterior hecho?

P. ¿ Si $G$ es un grupo tal que para cualquier $x\in G$, la clase conjugacy de $x$ $G$ genera una adecuada subgrupo, ¿qué podemos decir acerca de la $G$? (nilpotent, solucionable, supersolvable, o más?) Existe la caracterización (o clasificación) de esos grupos?

Ejemplo: Vamos a $G$ ser cualquier no-abelian finito $p$-grupo. A continuación, para $x\in G$, hay un subgrupo maximal $M$ $G$ contiene $x$; luego el subgrupo generado por la clase conjugacy de $x$ está contenido en $M$, por lo tanto es correcto.

Answer 1

No se muy bien hecho, pero el tiempo ha sido escaso últimamente:

Proposición: En un número finito de grupo con los no-cíclico abelianization, los subgrupos generados por cada clase conjugacy son correctos.

Prueba: Supongamos $G$ es un grupo finito, cuya abelianization $G/[G,G]$ no es cíclico. Deje $x \in G$. A continuación,$G/[G,G] \neq \langle x \rangle [G,G]/[G,G]$, por lo que hay algunos máxima subgrupo $M/[G,G]$ tal que $\langle x \rangle [G,G]/[G,G] \leq M/[G,G]$. Desde $G/[G,G]$ es abelian, $M/[G,G]$ es normal, y por lo $M \lhd G$ es normal, y por tanto contiene el subgrupo generado por todos los conjugados de $x$. $\square$

Proposición: Si $G/[G,G]$ es cíclico y $G$ es finito (o tiene una composición de la serie), entonces existe una clase conjugacy que genera $G$ como un subgrupo.

Prueba: Este es un caso especial del teorema 4.7 de Berrick–Robinson (1993). $G$ sí ha finito composición de longitud, por lo que Robinson resultado dice que $G$ es el subgrupo generado por una sola clase conjugacy si y sólo si $G/[G,G]$ es. Sin embargo, $G/[G,G]$ es generado por un solo elemento (=clase conjugacy para abelian grupos) si y sólo si es cíclico. $\square$

Referencias:

• Berrick, A. J.; Robinson, Derek J. S. "El imperfecto de los grupos". J. Pure Appl. Álgebra 88 (1993), no. 1-3, 3-22. MR1233309 DOI:10.1016/0022-4049(93)90008-H

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Prueba: (De conjetura, mi intento) Supongamos $G/[G,G]$ es cíclica, es decir, generado por $x[G,G]$, y establecer $N$ a ser el subgrupo generado por los conjugados de la $x$. Deje $g \in G$. A continuación,$x^g = x[x,g]$$[x,g] \in N$. Por lo tanto $x \in Z(G/N)$. ...

Contraejemplo: Si $G/[G,G] = \langle x \rangle [G,G]/[G,G]$, $G$ no tiene que ser el subgrupo generado por la clase conjugacy de $x$.

Prueba: Tome $G = \langle x \rangle \times Y$ $Y$ no-identidad perfecta. A continuación, la clase conjugacy de $x$ es sólo $x$ sí, una adecuada subgrupo. $\square$

Revisión: el único problema es al $x$ está contenida en un máximo de subgrupo normal que no contengan $[G,G]$, pero en caso de que el cociente no es abelian simple, por lo que joe elemento aleatorio $y$ de que el cociente debe ser tal que $G$ es el subgrupo generado por la clase conjugacy de $xy$.