¿Que $f:\mathbb C \to \mathbb C$ ser una función entera tal que $f$ limita en cada horizontal y cada línea vertical, luego es verdad que el $f$ limita en cualquier conjunto de la forma $V_{[a,b]}:=\{x+iy : y\in \mathbb R , a \le x \le b\}$ y cualquier conjunto de la forma $H_{[a,b]}:=\{x+iy : x\in \mathbb R , a \le y \le b\}$?
Respuesta
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zaq
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Esto no es cierto. Deje $G\subset \mathbb{C}$ el conjunto $\{x+iy:|x|<\pi/2, y> -1, |y-\tan x|<1\}$. Este está conectado a un conjunto abierto que no contiene ninguna línea, o incluso la mitad de la línea. Deje $E=\mathbb{C}\setminus G$. La función de $f(z)=1/z$ es holomorphic en $E$. Por Arakelyan del teorema de aproximación existe toda una función de $F$ tal que $|F-f|<1/3$$E$. En consecuencia,
- $F$ es limitado en cada línea (no sólo en la vertical y horizontal)
- $F$ es no constante, ya que una constante $c$ no puede satisfacer $|c-f|<1/3$$E$.
- El ser no constantes, $F$ no está delimitado en $\mathbb{C}$. Sin embargo, es limitado en $E$; por lo tanto, no está delimitado en $G$.
- Desde el set $\{x+iy:y\in\mathbb{R},|x|\le \pi/2\}$ contiene $G$, la función de $F$ no está delimitado en este conjunto.
Comentarios
Para comprobar la hipótesis de Arakelyan del teorema, como se indica en la Wikipedia, tome $\Omega=\mathbb{C}$, por lo que el $\Omega^*\setminus E = G\cup\{\infty\}$, que es un conjunto conectado. Es importante que $G$ se extiende hasta el infinito.
Más fuerte tangencial aproximación es posible, donde las $|F(z)-f(z)|<1/|z|$$E$. Las referencias en el artículo de la Wikipedia debería tener este; en cualquier caso, las Conferencias sobre el Complejo de Aproximación por Gaier presenta este y muchos otros teoremas de aproximación. En este caso, $F$ tiende a cero a lo largo de cada línea en el plano complejo.
