El cálculo de homotopy grupos, en general, es bastante difícil, al menos en comparación con la informática homología o cohomology. Entre estos dos extremos, puede intentar calcular el estable homotopy de un espacio de $X$. Por definición, el $i^{th}$ estable homotopy grupo de $X$ es igual a $\pi_{i+k} \Sigma^{k} X$ para suficientemente grande $k$. Este grupo se denota $\pi^s_i X$. De hecho, la secuencia de functors
$\pi^s_i(-) \colon \mathrm{Spaces} \to \mathrm{Abelian Groups}$
formas una generalización de la teoría de la homología. Así que estos estable homotopy grupos pueden acceder con muchas de las mismas herramientas y métodos utilizados en la homología.
Ahora, observa que el $\pi_{i+k} \Sigma^k X = \pi_i \Omega^k \Sigma^k X$, así que en lugar de estudiar $\pi_i^s$, se podría estudiar los espacios de la forma $\Omega^k \Sigma^k X$ grandes $k$. Como se ha mencionado en los comentarios, si usted toma la colimit de estos espacios como $k\to\infty$, se obtiene un espectro, que es la misma cosa como una generalización de homología o cohomology de la teoría.
Todo lo anterior es sólo para decir que muestran ciertos espacios son espectros es un ejemplo de una aplicación importante. A continuación, sostengo que el principio de reconocimiento ayuda a construir tales ejemplos.
Una simple conclusión a partir de Mayo del delooping teorema es que un espacio topológico con una estructura de grupo abelian da un cohomology de la teoría. Además, a menudo es más fácil demostrar que tiene un $E_n$ estructura en un espacio de $Y$ por cada $n$ que encontrar un espacio de $X$ tal que $\Omega^\infty\Sigma^\infty X = Y$. Usualmente $Y$ es la clasificación de espacio de algunos monoidal simétrica categoría. Hay otros ejemplos, aunque ninguno de ellos vienen a la mente en el momento, de las categorías con más estructura cuya clasificación de los espacios dan lugar a un bucle infinito de los espacios.
