Actualmente estoy aprendiendo la teoría analítica de números utilizando Davenport Multiplicativo Número de el libro de la Teoría, y en algún punto creo que algo tonto que está sucediendo. Tengo gran fe de que estoy equivocado Y que yo estoy en lo correcto. Aquí está la cosa.
En algún momento durante la prueba de Dirichlet de la prueba del teorema sobre primos en progresiones aritméticas, el uso de Poisson suma fórmula, uno termina con la integral $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi i N s^2} \, dy. $$ Aquí $N$ es un número entero. Esta integral impropia debe, en la práctica, evaluar a $\frac{1+i}{2\sqrt N}$. En realidad, la razón por la que necesitamos para calcular esto es porque sabemos que algo necesitamos es igual a $$ \lim_{Y,Z \to \infty} \int_{-Y}^{Z+1} e^{2\pi i N t^2} \, dt, $$ donde $Y$ $Z$ tomar valores enteros, y el porque de algunas series de Fourier argumento (que no es el propósito de mi pregunta, sé que este límite existe. La forma en Davenport calcula que este límite está evaluando la integral anterior (no el límite de una, la de arriba). La forma en que se calcula es el primer demostrando que converge y, a continuación, utiliza algunos de identidad que no tengo problemas con el. El argumento de Davenport utiliza es que para $Y' > Y > 0$, tenemos $$ \int_Y^{Y'} e^{2\pi i N s^2} \, dy = \frac 12 \int_{Y^2}^{N^2} \frac{e^{2\pi i N z}}{\sqrt z} \, dz $$ después del cambio de las variables de $z = y^2$, y "esto es donde estoy atascado, la magia sucede" : supuestamente que "después de usar el segundo valor medio teorema, o por integración por partes, este debe tener valor absoluto $O(\frac 1Y)$$Y \to \infty$". Cómo es eso? Sé que ambos integración por partes/segundo valor de la media teoremas, pero no tengo idea de cómo llegar allí ; ingenuo aplicaciones de los dos me da ningún grande-oh, en absoluto ; por ejemplo, $$ \frac 12 \int_{Y^2}^{{Y'}^2} \frac{e^{2 \pi i N z}}{\sqrt z} \, dz = \frac 12 \left( \left. \frac{e^{2 \pi i Nz}}{2 \pi i N \sqrt z} \right|_{Y^2}^{{Y'}^2} + \frac 1{4\pi i N} \int_{Y^2}^{{Y'}^2} \frac{e^{2\pi i N z}}{(\sqrt z)^3} \, dz \right) $$ El primer término es $O(1/Y)$, pero el segundo término, si puedo usar el valor medio teorema hay un $Y'$ en el numerador, de lo que puede llegar la cosa arbitraria grandes ; lo que yo quiero es que la integral de $Y$ $\infty$a estar delimitado por $Y$ lo suficientemente grande, así que esto es realmente molesto. Yo podría integrar por partes de nuevo, pero aún así obtener un $Y'$ en el numerador.
Otra cosa que me molesta es que escribo $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi i N s^2} \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(2\pi N y^2) + i \sin(2 \pi N y^2) \, dy, $$
la parte real e imaginaria ambos no parecen converger, ya que la cola no vaya a cero, pero oscila muy rápido? Sé que funciones puede oscilar y todavía ser integrable en la Riemann-límite de sentido, pero aún así, este parece sospechoso.
Cualquier explicaciones? Cualquier cosa es bienvenida... gracias de antemano!
