Encontrar valores para que la integral sea un operador acotado

Question

Encontrar todos los valores positivos $\alpha$ para el que la fórmula

\begin{align*} A_\alpha u(x) = \int\limits_0^1 \frac{u(y)}{(x+y)^\alpha} \,dy \end{align*} define un operador acotado en $L^1([0,1])$ . Calcula su norma.

Sé que esto define un operador acotado para $\alpha <1$ . Lo que hice no funcionará para $\alpha \geq 1$ . Me cansé de usar $L^1$ pero no funciona. ¿Tiene algún consejo sobre cómo abordar este tipo de problemas?

\begin{align*} ||A_\alpha u(x)||_1 & = \int\limits_0^1\left| \int\limits_0^1 \frac{u(y)}{(x+y)^{\alpha}}\, dy \right|\,dx \\ & \leq \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{|u(y)|}{(x+y)^{\alpha}}\,dy\, dx \\ & \leq \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{|u(y)|}{x^{\alpha}}\,dy\, dx\\ & =\int\limits_0^1 ||u||_1 \frac{1}{x^{\alpha}}\, dx\\ \end{align*}

La integral anterior converge si $\alpha <1$ .

Answer 1

Consideremos $u(x) = 1$ para todos $x\in [0,1]$ y $\alpha \ge 2$ . Entonces tenemos

$$A_{\alpha}u(x) = \int_0^1 \frac{1}{(x+y)^{\alpha}}\,dy.$$

Dejar $z = \dfrac{y}{x}$ tenemos $dz = \dfrac{1}{x}\,dy$ y así

$$A_{\alpha}u(x) = \int_0^{x^{-1}}\frac{1}{x^{\alpha}(1+z)^{\alpha}}x\,dz = \frac{1}{x^{\alpha-1}}\int_0^{x^{-1}}\frac{1}{(1+z)^{\alpha}}\,dz.$$

La antiderivada de $(1+z)^{-\alpha}$ es $\frac{1}{-\alpha+1}(1+z)^{-\alpha+1}$ . Entonces obtenemos

$$A_{\alpha}u(x) = \frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\left((1+x^{-1})^{-\alpha+1}-1\right) = \frac{1}{-\alpha+1}\left((x+1)^{-\alpha+1}-x^{-\alpha+1}\right).$$

Para tales $\alpha$ no es integrable.