Demostrar que: $ \cot7\frac12 ^\circ = \sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt4 + \sqrt6$

Question

Cómo probar el siguiente trignometric identidad? $$ \cot7\frac12 ^\circ = \sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt4 + \sqrt6$$

El uso de la mitad del ángulo de fórmulas, estoy recibiendo un número de $\cot7\frac12 ^\circ $, pero no sé cómo mostrar es igual al número $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt4 + \sqrt6$.

Sin embargo, me gustaría aprender la técnica de tratar con surds como estos, especialmente en trignometric problemas como tengo un montón de problemas similares y no tengo ni idea de cómo lidiar con aquellos.

Consejos por favor!

EDITAR:

Lo que he hecho con la mitad de los ángulos es esta: (y tenga en cuenta, por comodidad, me estoy bajando el grado de símbolos. Los ángulos de aquí en grados, sin embargo).

Sé que $$ \cos 15 = \dfrac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}$$

Así,

$$\sin7.5 = \sqrt{\dfrac{1-\cos 15} {2}}$$ $$\cos7.5 = \sqrt{\dfrac{1+\cos 15} {2}} $$

$$\implies \cot 7.5 = \sqrt{\dfrac{2\sqrt2 + \sqrt3 + 1} {2\sqrt2 - \sqrt3 + 1}} $$

Answer 1

Aquí está una elemental (casi sin palabras) la prueba de que no se basa explícitamente en la mitad de ángulo o de doble ángulo de fórmulas. Lo que se utiliza es el hecho de que $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$, el teorema del ángulo exterior, triangulo isoceles teoremas y Pythaogorean teorema de la geometría Euclidiana, y el hecho de que $8 + 4\sqrt{3} = \left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)^2$ (cf. Robert la respuesta israelí). El crudo, no a escala, diagrama de abajo es, espero, auto-explicativos, especialmente si se inicia desde el lado derecho y su forma de trabajo a la izquierda.

La longitud de la base del triángulo es $$\cot(7.5^\circ) = \sqrt{8+4\sqrt{3}} +2+\sqrt{3} = \sqrt{2}+\sqrt{6} + \sqrt{4}+\sqrt{3}$$

Answer 2

$$\text{As } \cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$$ $$ =\frac{2\cos^2x}{2\sin x\cos x}(\text{ multiplying the numerator & the denominator by }2\cos7\frac12 ^\circ)$$

$$=\frac{1+\cos2x}{\sin2x}(\text{using }\sin2A=2\sin A\cos A,\cos2A=2\cos^2A-1$$

$$ \cot7\frac12 ^\circ =\frac{1+\cos15^\circ}{\sin15^\circ}$$

$\cos15^\circ=\cos(45-30)^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}$

$\sin15^\circ=\sin(45-30)^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$

Método de $1:$

$$\frac{1+\cos15^\circ}{\sin15^\circ}=\csc15^\circ+\cot15^\circ$$

$$\cot15^\circ=\frac{\cos15^\circ}{\sin15^\circ}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=2+\sqrt3$$

$$\csc15^\circ=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3-1}=\frac{2\sqrt2(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\sqrt2(\sqrt3+1)=\sqrt6+\sqrt2$$

Método de $2:$

$$\implies \frac{1+\cos15^\circ}{\sin15^\circ}=\frac{1+\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}}{\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}}=\frac{2\sqrt2+\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=\frac{(2\sqrt2+\sqrt3+1)(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}(\text{ rationalizing the denominator })$$

$$=\frac{2\sqrt6+4+2\sqrt3+2\sqrt2}2$$

Answer 3

Inicio de $\displaystyle\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\tan{15^\circ}}{1-\tan^2{15^\circ}}$.

Si $x=\tan{15^\circ}$,$\displaystyle\tan 15^\circ = x = \frac{2\tan{(\frac{15}{2})^\circ}}{1-\tan^2{(\frac{15}{2})^\circ}}$.

Si $y=\tan{(\frac{15}{2})^\circ}$,$x=\frac{2y}{1-y^2}$. Por lo tanto

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2(\frac{2y}{1-y^2})}{1-(\frac{2y}{1-y^2})^2}$.

Simplificar la ecuación anterior y resolver para $y$, luego de encontrar el recíproco para encontrar $\cot{(\frac{15}{2})^\circ}$.

EDIT: Para simplificar su surd, tratar de multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{2\sqrt{2}−\sqrt{3}+1}$.

Answer 4

Tenga en cuenta que si $\cot(x) = c$, $$\cot(4x) = \frac{1-6c^2+c^4}{4 c^3 - 4 c}$$ En este caso,$\cot(4x) = \sqrt{3}$. por lo tanto desea $$ c^4 - 6 c^2 + 1 - (4 c^3 - 4 c) \sqrt{3} = 0 $$ La cuártica sucede con el factor de $$ (c^2 + (4-2 \sqrt{3}) c - 1)(c^2 + (-4 - 2 \sqrt{3}) c - 1)$$ El uso de la aproximación numérica para ver que cuadrática factor desea ser $0$, y resolver. Usted también puede encontrar útil tener en cuenta que $4 + 2 \sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^2 $.

Answer 5

el uso de la mitad del ángulo de identidades, $$\cot(x)=\frac{1}{\tan(x)}=\frac{\sin(2x)}{1-\cos(2x)}=\frac{\left(\frac{1-\cos(4x)}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1-\left(\frac{1+\cos(4x)}{2}\right)^\frac{1}{2}}$$ con $x=7.5^o=\frac{\pi}{24}$ $\cos(\frac{4\pi}{24})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ podemos sustituir y simplificar multiplicando por $\sqrt{2}$ dos veces, $$ \cuna(\frac{\pi}{24}) = \frac { \frac { \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{\frac{1}{2}} } { ( {2} )^{\frac{1}{2}} } } { 1- \frac { \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{\frac{1}{2}} } { ( {2} )^{\frac{1}{2}} } } = \frac { \frac { ( 2-\sqrt{3} ) ^{\frac{1}{2}} } { ( {2} ) ^{\frac{1}{2}} } } { \sqrt{2} - \frac {(2+\sqrt{3}) ^{\frac{1}{2}}} {{(2)}^{\frac{1}{2}}} } = \frac { ( 2-\sqrt{3} ) ^{\frac{1}{2}} } { 2 - (2+\sqrt{3}) ^{\frac{1}{2}} } $$

para simplificar a partir de aquí, podríamos buscar para "completar el cuadrado" en virtud de los radicales (que no deja NINGÚN resto) para que el los poderes $2$ $1/2$ a multiplicar y cancelar

buscar $a, b$ tal que $(a + b)^2 = 2+\sqrt{3}$ lo ideal (y lo mismo para el $2-\sqrt{3}$ radical), pero tenga en cuenta que cualquier escalador múltiples de este RHS haría como esta múltiple puede ser un factor fuera, es decir, completar para $k(2-\sqrt{3}) = (a-b)^2$ funciona si reemplazamos $(2-\sqrt{3})$ $\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)^2(a-b)^2$ en lugar de ello, o, alternativamente, sacó desde fuera del radical, es decir, multiplicando el principal a través de la ecuación por el factor de $\sqrt{k}$

esta es la parte más débil de la solución, ya que sólo el método de prueba y error me llevó a $k=2, a=1, b=\pm\sqrt{3}$

$$ \cuna(\frac{\pi}{24}) = \frac {\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2(1-\sqrt{3})^2\right)^\frac{1}{2}} {2-\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2(1+\sqrt{3})^2\right)^\frac{1}{2}} = \frac {\frac{1}{\sqrt{2}}|1-\sqrt{3}|} {2-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\sqrt{3})} = \frac {|1-\sqrt{3}|} {2\sqrt{2}-(1+\sqrt{3})} $$ para simplificar la (desagradable) módulo (que existe para mantener la exacta solución radical), se multiplica por su conjugado. de ser muy cuidadosos con los signos positivo ($|1-\sqrt{3}|$ a escala positiva de la $(1+\sqrt{3})$ es positivo) tenemos, $$ \cuna(\frac{\pi}{24}) = \frac { |1-\sqrt{3}|(1+\sqrt{3}) } { 2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})^2 } =\frac{2}{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}-(4+2\sqrt{3})} $$ finalmente, multiplicando por $\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6})$, el denominador se simplifica a $1$, y nos quedamos con la solución