Es posible tomar una segunda derivada, sin tomar la primera derivada antes?
¿Por qué tenemos que multiplicar el $d$ $dx$ operadores? Como, qué $\dfrac{d^2}{dx^2}$ realmente quiere decir $\dfrac{d}{dx} \cdot \dfrac{d}{dx}$?
¿Cuál es la comprensión intuitiva acerca de esto? Puede ser representado en un gráfico? Como... 'cambio Pequeño cuadrado en $y$ más pequeño cambio cuadrado en $x$'?
Prefiero ver $\frac{d^2}{dx^2}$$\frac{d}{dx}\circ\frac{d}{dx}$. Difícilmente se puede evitar tomando la primera derivada se calcula antes que el segundo. Puede definir $f''(x_0)$ como el único número $a$ tal que $f(x)-a(x-x_0)^2$ es de la forma $y_0+mx+o((x-x_0)^2)$, pero en el caso de que usted "accidentalmente" ha obtenido el primer derivado $m$.
Aunque la notación se parece a la multiplicación, es realmente la función de la composición. Que es $$ \frac{d^2}{dx^2} \left[ f(x) \right] = \frac{d}{dx} \left[ \frac{d}{dx} \left[f(x)\right]\right].$$
En términos de las operaciones más sencillas, considere la función $g(x)=x^4$ donde $x$ es un número real. A continuación, $$g^2(x) = (g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(x^4) = (x^4)^4.$ $ El exponente es un atajo para la composición, no de la multiplicación.
Si en vez de pensar en términos de lugar y de ejecución y el límite a través de la $f' \approx {{\Delta y}\over {\Delta x}}= {{f(x+h)-f(x)}\over{h}}$, entonces usted puede definir la derivada segunda a través de $f'' \approx {{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}\over{h^2}}$. Ahora el numerador es la diferencia de dos, izquierda y derecha, se alza como en $f(x+h)-2f(x)+f(x-h)=[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)]$.
Así que, en cierto sentido, esto es un aumento de más de correr de un aumento de más de correr.
Depende de lo que significa tomar una segunda derivada, sin tomar la primera derivada antes. Usted puede utilizar las fórmulas para calcular la segunda derivada sin calcular la primera derivada, pero esta fórmula habría invocado primero tomando la primera derivada.
La segunda derivada es el pequeño cambio en la primera derivada por el pequeño cambio en x.
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