Cómo comprobar la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^\infty n^{-1-1/n}$ ?

Question

Cómo comprobar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1+1/n}}?$

Ayúdame. No tengo ni idea.

Answer 1

Usted por $a_n = \frac1n$ y $b_n = \frac{1}{n^{1+1/n}}$ que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{1+1/n}} = \lim_{n\to\infty}n^{-1/n} = 1. $$ Desde $\sum a_n$ diverge, también lo hace $\sum b_n$ .

Answer 2

$$ n<\mathrm e^n\implies n^{1/n}<\mathrm e\implies n^{1+1/n}<\mathrm e\cdot n\implies \frac{1}{\mathrm e\cdot n}<x_n. $$ Desde $\sum\frac1{\mathrm e \cdot n}$ es divergente también lo es la serie.

Answer 3

Aquí hay otro enfoque que utiliza una prueba de relación de orden superior.

Dejemos que $a_n = 1/n^{1+1/n}$ . El examen de la relación de los términos sucesivos para grandes $n$ encontramos $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 - \frac{1}{n} + O\left(\frac{\log n}{n^2}\right).$$ Por lo tanto, la serie diverge en Prueba de Gauss .