Cómo calcular el límite de $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\sin\Big( \dfrac{k\sqrt{k}}{n^2\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n^2}\Big)$

Question

¿Cómo puedo calcular el siguiente límite: $$\lim\limits_{n \to +\infty} S_n=\lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{k=1}^n\sin\Big( \dfrac{k\sqrt{k}}{n^2\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n^2}\Big) = \text{?}$$ Creo que usted necesita para utilizar la suma de Riemann, pero no entiendo cómo deshacerse de la sinusoidal.

Por favor proporcione una pista (y no la totalidad de la solución).

Answer 1

El uso del teorema de Taylor con forma de Lagrange del resto, para cualquier $x\in \mathbb R$, $$\sin(x) = x -\frac{x^3}6 \cos(\xi_x)$$ Por lo tanto la desigualdad de $$|\sin(x)-x|\leq \frac{|x|^3}6$$

Nota al lado que $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(\frac{k\sqrt k}{n^2\sqrt n}+\frac 1{n^2}\right) = \frac 1n +\underbrace{\frac 1n \sum_{k=1}^n \frac kn \sqrt{\frac kn}}_{\text{Riemann sum}}$

y

$$\begin{align}\left| \sum_{k=1}^n \sin\left(\frac{k\sqrt k}{n^2\sqrt n}+\frac 1{n^2}\right) - \sum_{k=1}^n \left(\frac{k\sqrt k}{n^2\sqrt n}+\frac 1{n^2}\right) \right| &\leq \sum_{k=1}^n \left|\sin\left(\frac{k\sqrt k}{n^2\sqrt n}+\frac 1{n^2}\right) - \left(\frac{k\sqrt k}{n^2\sqrt n}+\frac 1{n^2}\right)\right| \\ &\leq \sum_{k=1}^n \frac 16 \left(\frac 1n + \frac 1{n^2} \right)^3 \\ &\leq \frac 16 \sum_{k=1}^n \left( \frac 2{n}\right)^3\\ &\leq \frac 43 \frac 1{n^2} \to 0 \end{align}$$

Por lo tanto, la suma de ambos tienen el mismo límite, que es $\displaystyle \int_0^1 t\sqrt t dt$.

Answer 2

Generalización: Supongamos $f$ es cualquier función en $[0,2]$ $f(0)=0$ tal que $f'(0)$ existe. Entonces

$$\tag 1 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k^{3/2}}{n^{5/2}} + \frac{1}{n^2}\right ) = \frac{2f'(0)}{5}.$$

Breve bosquejo: $f(x) = f'(0)x + o(x)$ $x\to 0.$ Se sigue que, después de simlifying, la suma de $(1)$ es igual a

$$\sum_{k=1}^{n}\left [f'(0)\left (\frac{k^{3/2}}{n^{5/2}} + \frac{1}{n^2}\right ) + o(1/n)\right] = f'(0)\left (\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{3/2}}{n^5/2}\right ) + o(1).$$

En la habitual forma de ver el límite de la última suma es $\int_0^1 t^{3/2}\,dt = 2/5.$ afirmó El resultado de la siguiente manera.