Cómo demostrar que $\det(A+I)\ne 0$

Question

Cómo demostrar que para cualquier matriz real simétrica sesgada $A$ tenemos $\det(A+I)\ne 0?$

¿Por dónde empezar? Sólo busco alguna pista.

Answer 1

Pista: ¿Cómo son los valores propios de una matriz simétrica inclinada real? Si $v$ es un vector propio de $A$ ¿Qué es? $(A+I)v$ ?

Answer 2

Cuando aprendí a hacer pruebas (todavía estoy aprendiendo :) ) una cosa que me pareció verdadera fue prestar mucha atención a las definiciones... así que mis consejos serían...

1). ¿cuál es la definición de marte real simétrico no nulo A.

2) qué hace la adición de la matriz de identidad a A.

3). ¿Qué hace $det(A + I) \neq 0$ realmente significa....think invertibilidad, lo que nos llevará a un círculo completo de vuelta a la ayuda de Joseph G.

Feliz caza

Answer 3

dejar $\lambda$ sea un valor propio de una matriz simétrica sesgada $A$ y $X\ne 0$ sea un vector propio correspondiente a este $\lambda$ así que $AX=\lambda X\Rightarrow X^*A^*=\bar{\lambda}X^*\Rightarrow X^*(-A)X=\bar{\lambda}X^*X\Rightarrow -X^*\lambda X=\bar{\lambda}X^*X\Rightarrow (\lambda+\bar{\lambda})X^*X=0\Rightarrow \lambda=\bar{\lambda}$ como $X$ era no nulo, por lo que los valores propios de las matrices simétricas inclinadas reales son puramente imaginarios o $0$ El problema que has planteado dice que $-1$ es un valor propio de $A$ así que la contradicción.